【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的短軸長為2,離心率e= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A,B,與圓x2+y2= 相切于點M.
(i)證明:OA⊥OB(O為坐標(biāo)原點);
(ii)設(shè)λ= ,求實數(shù)λ的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)∵2b=2,∴b=1.
又e= = ,a2=b2+c2 ,
∴a2=2.
∴橢圓C的方程為 ;
(Ⅱ)(i)∵直線l:y=kx+m與圓x2+y2= 相切,
∴ ,即 .
由 ,消去y并整理得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0.
設(shè)A(x1 , y1),B(x2 , y2),
則 .
∵ .
=
=
= ,
∴OA⊥OB.
(ii)∵直線l:y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A,B,
∴ , .
∴ = = .
由(Ⅱ)(i)知x1x2+y1y2=0,
∴x1x2=﹣y1y2 , ,即 .
∴ .
∵ ,
∴λ的取值范圍是
【解析】(Ⅰ)由已知得到b=1,結(jié)合e= ,即a2=b2+c2求得a2=2,則橢圓方程可求;(Ⅱ)(i)由直線l:y=kx+m與圓x2+y2= 相切,可得 ,即 .聯(lián)立直線方程好橢圓方程,得到A,B橫坐標(biāo)的和與積,代入可得 ,得到OA⊥OB;(ii)直線l:y=kx+m與橢圓交于不同的兩點A,B,把A,B的坐標(biāo)代入橢圓方程,可得 , .在圓中由垂徑定理可得 = = .結(jié)合x1x2+y1y2=0,得到 .由x1 的范圍求得λ的取值范圍.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃在迎春節(jié)聯(lián)歡會中設(shè)一項抽獎活動:在一個不透明的口袋中裝入外形一樣號
碼分別為1,2,3,…,10的十個小球。活動者一次從中摸出三個小球,三球號碼有且僅有兩個連號的為三等獎,獎金30元;三球號碼都連號為二等獎,獎金60元;三球號碼分別為1,5,10為一等獎,獎金240元;其余情況無獎金。
(1)求員工甲抽獎一次所得獎金ξ的分布列與期望;
(2)員工乙幸運地先后獲得四次抽獎機會,他得獎次數(shù)的方差是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函,其中.
(Ⅰ)若,求曲線在點(2,f(2))處的切線方程;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinxcosx﹣ x.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[0, ]時,求f(x)的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)數(shù)f′(x),對任意的x∈R,有f(﹣x)+f(x)=x2 , 且x∈(0,+∞)時,f′(x)>x.若f(2﹣a)﹣f(a)≥2﹣2a,則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.[1,+∞)
B.(﹣∞,1]
C.(﹣∞,2]
D.[2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“干支紀(jì)年法”是中國歷法上自古以來使用的紀(jì)年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被稱為“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”!疤旄伞币浴凹住弊珠_始,“地支”以“子”字開始,兩者按干支順序相配,組成了干支紀(jì)年法,其相配順序為:甲子、乙丑、丙寅…癸酉,甲戌、乙亥、丙子…癸末,甲申、乙酉、丙戌…癸巳,…,共得到個組成,周而復(fù)始,循環(huán)記錄。2014年是“干支紀(jì)年法”中的甲午年,那么2020年是“干支紀(jì)年法”中的()
A. 己亥年 B. 戊戌年 C. 庚子年 D. 辛丑年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(Ⅰ)若a=﹣1,證明:函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的減函數(shù);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與直線x﹣y=0平行,求a的值;
(Ⅲ)若x>0,證明: (其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,其中左焦點(-2,0).
(1) 求橢圓C的方程;
(2) 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A,B,且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上,求m的值.
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