設函數(shù)f(x)=(x-a)2,g(x)=x,x∈R,a為實常數(shù).
(1)若a>0,設F(x)=
f(x)g(x)
,x≠0,用函數(shù)單調性的定義證明:函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù);
(2)設關于x的方程f(x)=|g(x)|在R上恰好有三個不相等的實數(shù)解,求a的值所組成的集合.
分析:(1)用定義法證明先取任意的x1<x2<0,代入解析式作差,判斷差的符號,然后由定義得出結論.
(2)原方程為(x-a)2=|x|,先對a進行分類討論,然后利用根與系數(shù)的關系及已知條件結合圖象即可求出結果.
解答:解:(1)F(x)=
x2-2ax+a2
x
=x+
a2
x
-2a
,任取x1,x2∈[a,+∞),且x1<x2
F(x2)-F(x1)=x2-x1+a2(
1
x2
-
1
x1
)=(x2-x1)•
x1x2-a2
x1x2
,…(3分)
因為 a>0,x1≥a,x2≥a且x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>a2,…(4分)
所以F(x2)-F(x1)>0,所以函數(shù)F(x)在區(qū)間[a,+∞)上是增函數(shù).…(6分)
(2)原方程為(x-a)2=|x|,
①當a=0時,原方程變?yōu)閤2=|x|,有-1,0,1三個解;…(8分)
②當a<0時,函數(shù)y=(x-a)2與y=|x|的圖象在x<0時有兩個交點,所以原方程在x<0時有兩個不相等的實數(shù)解,要使原方程在x>0時恰有一個解,當且僅當函數(shù)y=(x-a)2與y=|x|的圖象在x>0時有且僅有一個公共點,即方程(x-a)2=x的判別式等于0,即(2a+1)2-4a2=0,解得a=-
1
4
;…(10分)
③同理,當a>0時,原方程在x>0時有兩個不相等的實數(shù)解,要原方程在x<0時恰有一個解,當且僅當方程(x-a)2=-x的判別式等于0,即(2a-1)2-4a2=0,
解得a=
1
4
.…(12分)
綜上,a的值所組成的集合為{-
1
4
,0,
1
4
}
.…(14分)
點評:本題考查的知識點是函數(shù)的單調性的判斷與證明,利用定義法(作差法)證明單調性的步驟是:設元→作差→分解→斷號→結論.此題比較難,綜合考查了一元二次方程的根的定義,判別式,根與系數(shù)的關系等知識,同時也考查了分類討論的數(shù)學思想,對于學生分析問題解決問題的能力要求比較高,所以平時要加強訓練.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

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f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數(shù)列;
④關于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數(shù)為( 。

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設函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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設函數(shù)f(x)=x(x-1)2,x>0.
(1)求f(x)的極值;
(2)設0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù)的最小值;
(3)設函數(shù)g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實數(shù)m有且只有一個,求實數(shù)m和t的值.

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(1)求f(x)的極值;
(2)設0<a≤1,記f(x)在(0,a]上的最大值為F(a),求函數(shù)的最小值;
(3)設函數(shù)g(x)=lnx-2x2+4x+t(t為常數(shù)),若使g(x)≤x+m≤f(x)在(0,+∞)上恒成立的實數(shù)m有且只有一個,求實數(shù)m和t的值.

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