數(shù)列滿足．
（1）計算，，，，由此猜想通項公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明此猜想；
（2）若數(shù)列滿足，求證：．

（1）1，，， an＝ (n∈N*)．
（2）運用數(shù)學(xué)歸納法證明來分為兩步驟來加以證明即可。

解析試題分析：解：（1）當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.
當(dāng)n＝2時，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.                        1分
當(dāng)n＝3時，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.
當(dāng)n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.              2分
由此猜想an＝ (n∈N*)．                                     4分
現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：
①當(dāng)n＝1時， a1＝＝1，結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k（k≥1且k∈N*）時，結(jié)論成立，即ak＝，那么當(dāng)n＝k＋1時，
ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，
∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故當(dāng)n＝k＋1時，結(jié)論成立，
由①②知猜想an＝ (n∈N*)成立．                                    8分
(2)由(1)知，，．               9分
解法1：當(dāng)時， 
                10分

．                                12分
解法2：當(dāng)時，，
                           10分

．              12分
解法3： 當(dāng)時，                     10分


 
 
．   12分
考點：數(shù)學(xué)歸納法證明
點評：主要是考查了數(shù)列的猜想以及數(shù)學(xué)歸納法的運用，屬于基礎(chǔ)題。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知數(shù)列滿足,其中N*.
(Ⅰ)設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項公式；
(Ⅱ)設(shè)，數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得對于N*恒成立，若存在，求出的最小值，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

若數(shù)列的前項和為，對任意正整數(shù)都有，記．
（1）求,的值；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）若求證：對任意．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為,數(shù)列的前項和為,點均在函數(shù)的圖像上.
（1）求的解析式；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè),是數(shù)列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)數(shù)列滿足： 
（I）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式;
（II）若,求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

數(shù)列滿足,且.
（1）求
（2）是否存在實數(shù)t,使得,且{}為等差數(shù)列?若存在,求出t的值;若不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且對任意正整數(shù)，點都在直線上．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若設(shè)求數(shù)列前項和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知等差數(shù)列前三項的和為,前三項的積為.
(Ⅰ)求等差數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)若,,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

等差數(shù)列的前n項和為.已知，且成等比數(shù)列，求的通項公式.

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