Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=SB，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC，且交SC于點(diǎn)N．

（1）求證：SC⊥平面AMN；
（2）求二面角D﹣AC﹣M的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，

∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

由SA=AB，設(shè)AB=AD=AS=1，

則A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（1，0，0），S（0，0，1），M（ ，0， ），

=（ ,0, ）， =（﹣1，﹣1，1），

=﹣ + =0，∴ ，

∴SC⊥⊥AM，

又SC⊥AN，且AN∩AM=A，

∴SC⊥平面AMN

（2）解：∵SA⊥底面ABCD，∴ 是平面ABCD的一個(gè)法向量，且 =（0，0，1），

設(shè)平面ACM的法向量為 =（x，y，z），

=（1，1，0）， =（ ,0, ），

則 ，取x=﹣1，得 =（﹣1，1，1），

cos＜ , ＞= = = ，

由圖形知二面角D﹣AC﹣M為銳二面角，

∴二面角D﹣AC﹣M的余弦值為

【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明SC⊥平面AMN．（2）求出平面ABCD的一個(gè)法向量和平面ACM的法向量，利用向量法能求出二面角D﹣AC﹣M的余弦值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解直線與平面垂直的判定(一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想)．