已知函數(shù)f(x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.
(1)求過函數(shù)圖象上的任一點P(t,f(t))的切線方程;
(2)若直線l是曲線y=f(x)的切線,求證:f(x)≥kx+b對任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b對任意x∈[0,+∞)成立,求實數(shù)k、b應(yīng)滿足的條件.
分析:(1)對函數(shù)求導(dǎo),得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),即得到了函數(shù)在某一點的切線的斜率,用點斜式寫出切線的方程.
(2)根據(jù)切線的方程,寫出斜率和截距,構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo),得到在x∈(-∞,t)上單調(diào)遞減,在x∈(t,+∞)為單調(diào)遞增,即得到函數(shù)的最小值,根據(jù)函數(shù)思想得到不等式成立.
(3)構(gòu)造新函數(shù),對新函數(shù)求導(dǎo),判斷函數(shù)的單調(diào)性,針對于k的不同值,函數(shù)的單調(diào)性不同,需要進(jìn)行討論,求出函數(shù)的最小值,得到要寫的條件.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)=ex,
分析可得f(x)=ex與直線相切,只有一個交點即切點,
故過函數(shù)圖象上的任一點P(t,f(t))的切線中P即為切點,
∵f'(x)=ex
∴切線l的方程為y-et=et(x-t)
即y=etx+et(1-t)
(2)由(1)
k=et
b=et(1-t)

記函數(shù)F(x)=f(x)-kx-b,
∴F(x)=ex-etx-et(1-t)
∴F'(x)=ex-et
∴F(x)在x∈(-∞,t)上單調(diào)遞減,在x∈(t,+∞)為單調(diào)遞增
故F(x)min=F(t)=et-ett-et(1-t)=0
故F(x)=f(x)-kx-b≥0即f(x)≥kx+b對任意x∈R成立
(3)設(shè)H(x)=f(x)-kx-b=ex-kx-b,x∈[0,+∞)
∴H'(x)=ex-k,x∈[0,+∞)
①當(dāng)k≤1時,H'(x)≥0,則H(x)在x∈[0,+∞)上單調(diào)遞增
∴H(x)min=H(0)=1-b≥0,
∴b≤1,即
k≤1
b≤1
符合題意
②當(dāng)k>1時,H(x)在x∈[0,lnk)上單調(diào)遞減,x∈[lnk,+∞)上單調(diào)遞增
∴H(x)min=H(lnk)=k-klnk-b≥0
∴b≤k(1-lnk)
綜上所述滿足題意的條件是
k≤1
b≤1
k>1
b≤k(1-lnk)
點評:本題考查函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用,主要是求最值問題,本題解題的關(guān)鍵是對于不等式成立,只要用函數(shù)的最值來整理就使得問題解題的方向非常明確.
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