【題目】如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的閏面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,M為CE的中點.

(1)求證:BM∥平面ADEF;
(2)求平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:取DE中點N,連接MN,AN

在△EDC中,M、N分別為EC,ED的中點,所以MN∥CD,且MN= CD.

由已知AB∥CD,AB= CD,所以MN∥AB,且MN=AB.

所以四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN

又因為AN平面ADEF,

且BM平面ADEF,

所以BM∥平面ADEF.


(2)解:以D為原點,DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系.

B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,2),平面ADEF的一個法向量為 =(0,1,0).

設(shè) =(x,y,z)為平面BEC的一個法向量,因為 =(﹣2,2,0), =(0,﹣4,2)

令x=1,得y=1,z=2

所以 =(1,1,2)為平面BEC的一個法向量

設(shè)平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為θ

則cosθ= =

所以平面BEC與平面ADEF所成銳二面角為余弦值為


【解析】(1)取DE中點N,連接MN,AN,由三角形中位線定理,結(jié)合已知中AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,易得四邊形ABMN為平行四邊形,所以BM∥AN,再由線面平面的判定定理,可得BM∥平面ADEF;(2)以D為原點,DA,DC,DE所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,分別求出平面BEC與平面ADEF的法向量,代入向量夾角公式,即可求出平面BEC與平面ADEF所成銳二面角的余弦值.
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.

練習冊系列答案
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社團名稱

成員人數(shù)

抽取人數(shù)

話劇社

50

a

創(chuàng)客社

150

b

演講社

100

c


(1)求a,b,c的值;
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