【題目】已知函數(shù)的定義域為且滿足,當(dāng)時,.
(1)判斷在上的單調(diào)性并加以證明;
(2)若方程有實數(shù)根,則稱為函數(shù)的一個不動點,設(shè)正數(shù)為函數(shù)的一個不動點,且,求的取值范圍.
【答案】(1) 單調(diào)遞減. 見解析 (2) (或).
【解析】
(1)根據(jù)已知條件,構(gòu)造函數(shù),可證在上單調(diào)遞減.,再通過的奇偶性,可得出在上單調(diào)遞減,即可判斷在上的單調(diào)性;
(2)轉(zhuǎn)為為(1)中的兩個函數(shù)值,利用的單調(diào)性,求出的范圍,再根據(jù)不動點的定義轉(zhuǎn)化為在有解,,分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為研究與函數(shù)在有交點,通過兩次求導(dǎo)得出在單調(diào)性,即可求出在的范圍.
(1)令,則,
∵當(dāng)時,,∴,
∴在上單調(diào)遞減,又∵,
∴,
∴為奇函數(shù),∴在上單調(diào)遞減.
又∵在上單調(diào)遞減,
∴在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)可知,在上單調(diào)遞減.
∵,∴,
∴,故.
∵正數(shù)為函數(shù)上的一個不動點,∴方程在上有解,
即方程在上有解,
整理得:.
令,,
設(shè),,則,
∴在上單調(diào)遞增,又,
∴,∴,
∴在上單調(diào)遞減,
∴(或),
即的取值范圍是(或).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6sinθ,建立以極點為坐標(biāo)原點,極軸為x軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程是,(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點,且|AB|=,求直線的斜率k.
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【題目】地球上的風(fēng)能取之不盡,用之不竭.風(fēng)能是淸潔能源,也是可再生能源.世界各國致力于發(fā)展風(fēng)力發(fā)電,近10年來,全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量連年攀升,中國更是發(fā)展迅猛,2014年累計裝機(jī)容量就突破了,達(dá)到,中國的風(fēng)力發(fā)電技術(shù)也日臻成熟,在全球范圍的能源升級換代行動中體現(xiàn)出大國的擔(dān)當(dāng)與決心.以下是近10年全球風(fēng)力發(fā)電累計裝機(jī)容量與中國新增裝機(jī)容量圖. 根據(jù)所給信息,正確的統(tǒng)計結(jié)論是( )
A.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量達(dá)到峰值
B.10年來全球新增裝機(jī)容量連年攀升
C.10年來中國新增裝機(jī)容量平均超過
D.截止到2015年中國累計裝機(jī)容量在全球累計裝機(jī)容量中占比超過
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【題目】已知橢圓的離心率為,且與雙曲線有相同的焦點.
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于,兩點,點滿足,點,若直線斜率為,求面積的最大值及此時直線的方程.
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【題目】在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,,,平面平面ABCD.
(1)求證:;
(2)若,且,求四棱錐P-ABCD的體積.
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【題目】設(shè)函數(shù)為常數(shù)) .
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程:
(2)若函數(shù)在內(nèi)存在唯一極值點,求實數(shù)的取值范圍,并判斷,是在內(nèi)的極大值點還是極小值點.
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【題目】已知橢圓: 的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線: 與橢圓有且只有一個公共點.
(Ⅰ)求橢圓的方程及點的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)是坐標(biāo)原點,直線平行于,與橢圓交于不同的兩點、,且與直線交于點,證明:存在常數(shù),使得,并求的值.
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【題目】如圖,已知橢圓過點兩個焦點為和.圓O的方程為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過且斜率為的動直線l與橢圓C交于A、B兩點,與圓O交于P、Q兩點(點A、P在x軸上方),當(dāng)成等差數(shù)列時,求弦PQ的長.
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【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠ABC=60°,AC與BD交于點O,PO⊥平面ABCD,E為CD的中點連接AE交BD于G,點F在側(cè)棱PD上,且DFPD.
(1)求證:PB∥平面AEF;
(2)若,求三棱錐E﹣PAD的體積.
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