Question

已知函數(shù)f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=4時(shí)，畫(huà)出函數(shù)f（x）的大致圖象，并寫(xiě)出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若a＞0，當(dāng)實(shí)數(shù)c分別取何值時(shí)，集合{x|f（x）=c}為單元素集，兩元素集，三元素集？

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=4時(shí)，根據(jù)f（x）的解析式，畫(huà)出f（x）的圖象．結(jié)合函數(shù)的圖象，可得單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）x∈[0，2]時(shí)，根據(jù)函數(shù)的解析式利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得若函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則

a

2

≤0，從而求得a的范圍．
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)解析式，結(jié)合函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與直線y=c的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）a=4時(shí)，f(x)=

x2-4x   (x＜0) -x2+4x  (x≥0)

，
f（x）的圖象如圖．--------（2分）
結(jié)合函數(shù)的圖象，可得單調(diào)遞增區(qū)間為[0，2]．-----（4分）
（Ⅱ）x∈[0，2]時(shí)，f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

若函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)遞減函數(shù)，則

a

2

≤0，
∴a∈（-∞，0]．---（7分）
（Ⅲ）f(x)=

-x(a-x)  ，(x＜0) x(a-x)，   (x≥0)

，
即 f(x)=

(x- a 2 )2- a2 4   ，(x＜0) -(x- a 2 )2+ a2 4 ，   (x≥0)

，
由圖象知，當(dāng)c∈(-∞，0)∪(

a2

4

，+∞) 時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=c有一個(gè)交點(diǎn)，
方程f（x）=c的解集是單元素集；
當(dāng)c=0或

a2

4

時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=c有2個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=c的解集是兩元素集；
當(dāng)c∈(0，

a2

4

)時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與直線y=c有3個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=c的解集是三元素集．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象的作法，方程的根的存在性和個(gè)數(shù)判斷，屬于中檔題．