Question

第19屆南非世界杯的主辦城市開普敦有甲乙兩個(gè)相鄰的觀光景點(diǎn)，某日甲景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)美國旅游團(tuán)和2個(gè)日本旅游團(tuán)，乙景點(diǎn)內(nèi)有2個(gè)美國旅游團(tuán)和3個(gè)日本旅游團(tuán)．現(xiàn)從甲景點(diǎn)中的4個(gè)旅游團(tuán)選出其中一個(gè)旅游團(tuán)，與從乙景點(diǎn)中的5個(gè)旅游團(tuán)中選出的其中一個(gè)旅游團(tuán)進(jìn)行互換．
（1）求互換后甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)的概率；
（2）求互換后甲景點(diǎn)內(nèi)美國旅游團(tuán)數(shù)的期望．

Answer 1

分析：（1）互換后甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)，說明交換的是相同的團(tuán)：都是美國旅游團(tuán)或都是日本旅游團(tuán)．
（2）互換后甲景點(diǎn)內(nèi)美國旅游團(tuán)數(shù)可能為1、2、3．

解答：解．（Ⅰ）令：互換后甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)為事件A，
則甲乙兩個(gè)景點(diǎn)各有一個(gè)旅游團(tuán)互換后，甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)有下面兩種情況：
①互換的都是美國旅游團(tuán)，則此時(shí)甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)事件A₁的概率P(A1)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

②互換的都是日本旅游團(tuán)，則此時(shí)甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)事件A₂的概率P(A2)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

又A=A₁+A₂，A₁，A₂互斥，則P(A)=P(A1)+P(A2)=

1

5

+

3

10

=

1

2

∴互換后甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)的概率為

1

2

（Ⅱ）設(shè)互換后甲景點(diǎn)內(nèi)美國旅游團(tuán)數(shù)為ξ，則ξ的取值為1，2，3
P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3

C 1 4 C 1 5

=

3

10

，P(ξ=2)=

1

2

，P(ξ=3)=

C 1 2 C 1 2

C 1 4 C 1 5

=

1

5

所以ξ的分布列為：


所以Eξ=

3

10

×1+

1

2

×2+

1

5

×3=

19

10

∴互換后甲景點(diǎn)內(nèi)美國旅游團(tuán)數(shù)的期望

19

10

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生的思維能力，互換后甲景點(diǎn)恰有2個(gè)美國旅游團(tuán)，要明確交換的是同一種團(tuán)．