Question

已知向量滿足，且，（k＞0）令
（1）求（用k表示）；
（2）當(dāng)k＞0時(shí)，對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用，結(jié)合兩邊平方整理即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng) k＞0時(shí)，先根據(jù)基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求問題轉(zhuǎn)化為g（t）=-2xt+x²-1＜0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立，最后結(jié)合一次函數(shù)的知識(shí)即可得到實(shí)數(shù)x的取值范圍．
解答：解：（1）由，
整理得
∴f（k）=（k＞0）…（4分）
（2）當(dāng) k＞0時(shí)f（k）=
（當(dāng)且當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立）…（6分）
∴當(dāng) k＞0時(shí)f（k）≥對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
即≥
亦即x²-2tx-1≤1對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立…（8分）
而x²-2tx-1=-2xt+x²-1=g（t）
∴g（t）=-2xt+x²-1＜0對(duì)任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函數(shù)的性質(zhì)可得…（10分）
∴
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為[]
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，以及恒成立問題和基本不等式的運(yùn)用．是對(duì)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題目．