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已知函數，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，試判斷函數f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調性，并證明你的結論；

（2）設函數 若對任意大于等于2的實數x1，總存在唯一的小于2的實數x2，使得g (x1) = g (x2) 成立，試確定實數m的取值范圍．

(Ⅰ) 略 (Ⅱ)  m（0，4）


解析:

：（1）f (x)為單調減函數．…1分

證明：由0<m≤2，x≥2，可得==．

      由 ，………………4分

且0<m≤2，x≥2，所以．從而函數f(x)為單調減函數．  ……………5分

（亦可先分別用定義法或導數法論證函數在上單調遞減，再得函數f(x)為單調減函數．）

（2）①若m≤0，由x1≥2，，

x2＜2，，所以g (x1) = g (x2)不成立．………7分

②若m＞０，由x＞2時，，

所以g(x)在單調遞減．從而，即．9分

（a）若m≥2，由于x＜２時，，

所以g(x)在(－∞,2)上單調遞增，從而，即．

要使g (x1) = g (x2)成立，只需，即成立即可．

由于函數在的單調遞增，且h(4)=0，所以2≤m＜4．…12分

（b）若0＜m＜2，由于x＜2時，

所以g(x)在上單調遞增，在上單調遞減．從而，即．要使g (x1) = g (x2)成立，只需成立，即成立即可．

由0＜m＜2，得 ．故當0＜m＜2時，恒成立．

綜上所述，m為區(qū)間（0，4）上任意實數．………16分

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

定義在D上的函數f（x）如果滿足：對任意x∈D，存在常數M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數，其中M稱為函數f（x）的上界．已知函數f(x)=
1-m•2x1+m•2x
．
（1）m=1時，求函數f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數，請說明理由；
（2）若函數f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=(其中m、n、α、β∈R且α≠0)的圖象過點（0，-1），對稱中心是（1，1）.

（1）試確定f(x)的解析式.

（2）如果數列{an}滿足：a1=3,an+1=f(an)(n∈N*),求{an}的通項公式.

（3）試探求形如f(x)的有理函數g(x)（異于f(x)），使得當數列{bn}滿足：b1=3,bn+1=g(bn)時，總有b2n-1=a2n-1(n∈N*)，并寫出兩個符合條件的函數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分16分）

已知函數，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，試判斷函數f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調性，并證明你的結論；

（2）設函數 若對任意大于等于2的實數x1，總存在唯一的小于2的實數x2，使得g (x1) = g (x2) 成立，試確定實數m的取值范圍．

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（本小題滿分16分）

已知函數，，其中m∈R．

（1）若0<m≤2，試判斷函數f (x)=f1 (x)+f2 (x)的單調性，并證明你的結論；

（2）設函數 若對任意大于等于2的實數x1，總存在唯一的小于2的實數x2，使得g (x1) = g (x2) 成立，試確定實數m的取值范圍．

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