【題目】已知數(shù)列{an}滿足an+1=a ﹣nan+1,且a1=2.
(1)計算a2 , a3 , a4的值,由此猜想數(shù)列{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明;
(2)求證:2nn≤a <3nn

【答案】
(1)解:由已知an+1=a ﹣nan+1,且a1=2.得到a2= ﹣a1+1=3,a3= ﹣2a2+1=4,a4= ﹣3a3+1=5;

由此猜測數(shù)列{an}的通項公式為an=n+1;

證明:①n=1,2,3,4顯然成立;

②假設(shè)n=k時成立,即ak=k+1,則n=k+1時,ak+1= ﹣kak+1=(k+1)2﹣k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1;

所以n=k+1時,數(shù)列an=n+1也成立;

所以數(shù)列{an}的通項公式an=n+1對任意n∈N+都成立


(2)解:因為an=n+1,所以 =(n+1)n= =2nn

構(gòu)造函數(shù)f(x)=(1+ x,則f′(x)=(1+ xln(1+ )(﹣ )<0,所以函數(shù)f(x)為減函數(shù),又x≥1,所以f(x)≤f(1)=2<3,所以 = <3,

即(n+1)n<3nn;

所以2nn≤a <3nn


【解析】(1)由an+1=a ﹣nan+1,且a1=2,分別令 n=2,3,4即可求解,進(jìn)而可猜想,然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明即可;(2)由(1)可得an=n+1,從而有 =(n+1)n , 利用二項式定理展開式以及構(gòu)造函數(shù),利用單調(diào)性證明.
【考點精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義,掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式;數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法即可以解答此題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,已知AB為圓O的直徑,CD為垂直于AB的一條弦,垂足為E,弦AGCDF.

(1)求證:EF,GB四點共圓;

(2)若GF=2FA=4,求線段AC的長.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知一點在直線上從時刻t=0(s)開始以速度v(t)=t2﹣4t+3(m/s)運(yùn)動,求:
(1)在t=4s時的位置;
(2)在t=4s的運(yùn)動路程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在某次水下科研考察活動中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進(jìn)行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗,潛水員下潛的平均速度為(米/單位時間),每單位時間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個單位時間,每單位時間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時間),每單位時間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為(升).

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;

(2)若 ,求當(dāng)下潛速度取什么值時,總用氧量最少.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)cos(α﹣ )=﹣ ,sin( ﹣β)= ,且 <α<π,0<β< ,求cos( )的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在三棱錐中, 是邊長為的等邊三角形, , 分別是的中點.

(1)求證: 平面

(2)求證: 平面;

(3)求三棱錐的體積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=3,點E,F(xiàn)分別在棱BB1 , CC1上,且C1F= C1C,BE=λBB1 , 0<λ<1.

(1)當(dāng)λ= 時,求異面直線AE與A1F所成角的大;
(2)當(dāng)直線AA1與平面AEF所成角的正弦值為 時,求λ的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在四棱錐中,底面是矩形, 平面 ,以的中點為球心, 為直徑的球面交于點,交于點.

(1)求證:平面平面;

(2)求點到平面的距離.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,且以原點為圓心,橢圓的焦距為直徑的圓與直線相切(為常數(shù)).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)如圖,若橢圓的左、右焦點分別為,過作直線與橢圓分別交于兩點,求的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案