(本小題滿分12分)
已知數(shù)列{an}的前三項與數(shù)列{bn}的前三項對應相等,且a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n對任意的n∈N*都成立,數(shù)列{bn+1bn}是等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)是否存在k∈N*,使得bkak∈(0,1)?請說明理由.
(1)an=24n(n∈N*),bnn2-7n+14(n∈N*).
(2)不存在k∈N*,使得bkak∈(0,1).理由略
解:(1)已知a1+2a2+22a3+…+2n-1an=8n(n∈N*).①
n≥2時,a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=8(n-1)(n∈N*).②
①-②得2n-1an=8,解得an=24n,在①中令n=1,可得a1=8=24-1,
所以an=24n(n∈N*).(4分)
由題意b1=8,b2=4,b3=2,所以b2b1=-4,b3b2=-2,
∴數(shù)列{bn+1bn}的公差為-2-(-4)=2,
bn+1bn=-4+(n-1)×2=2n-6,
bnb1+(b2b1)+(b3b2)+…+(bnbn-1)
=8+(-4)+(-2)+…+(2n-8)=n2-7n+14(n∈N*).(8分)
(2)bkakk2-7k+14-24k,當k≥4時,f(k)=(k-)2+-24k單調(diào)遞增,
f(4)=1,所以k≥4時,f(k)=k2-7k+14-24k≥1.
f(1)=f(2)=f(3)=0,所以,不存在k∈N*,使得bkak∈(0,1).(12分)
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(本小題滿分12分)
已知數(shù)列和等比數(shù)列,的前n項和為,,
且滿足,
(1)求數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的通項公式;
(2)求數(shù)列的前n項和與等比數(shù)列的前n項和。

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