在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=4,AD=3,AA1=2.E、F分別是線段AB、BC上的點(diǎn),且EB=FB=1.
( I)求二面角C-DE-C1的正切值;( II)求直線EC1與FD1所成的余弦值.
(I)以A為原點(diǎn),
AB
,
AD
,
AA1
分別為x軸,y軸,z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系,
則有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2)
于是,
DE
=(3,-3,0),
EC1
=(1,3,2),
FD1
=(-4,2,2)
設(shè)向量
n
=(x,y,z)
與平面C1DE垂直,則有cosβ=
EC1
FD1
|
EC1|
×|
FD1
|
=
1×(-4)+3×2+2×2
12+32+22
×
(-4)2+22+22
=
21
14
n
DE
n
EC1
3x-3y=0
x+3y+2z=0
⇒x=y=-
1
2
z
n
=(-
z
2
,-
z
2
,z)=
z
2
(-1,-1,2),其中z>0
n0
=(-1,-1,2),則
n0
是一個(gè)與平面C1
DE垂直的向量,
∵向量
AA1
=(0,0,2)與平面CDE垂直,
n0
AA1
所成的角θ為二面角C-DE-C1
的平面角
∵cosθ=
n0
AA1
|n0
|AA1
|
=
-1×0-1×0+2×2
1+1+4
×
0+0+4
=
6
3

∴tanθ=
2
2

(II)設(shè)EC1與FD1所成角為β,則cosβ=
EC1
FD1
|
EC1|
×|
FD1
|
=
1×(-4)+3×2+2×2
12+32+22
×
(-4)2+22+22
=
21
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練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

三棱錐P-ABC中,∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°,AC=2,BC=
13
,PB=
29
,求PC與AB所成角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2,原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(
3
2
,
1
2
,0
),點(diǎn)D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(I)求向量
OD
的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)向量
AD
BC
的夾角為θ,求cosθ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,在三棱柱A1B1C1-ABC中,A1A⊥平面ABC,A1A=AB=AC,AB⊥AC,點(diǎn)D是BC上一點(diǎn),且AD⊥C1D.
(1)求證:平面ADC1⊥平面BCC1B1;
(2)求證:A1B平面ADC1;
(3)求二面角C-AC1-D大小的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,PA⊥平面ABCD,ABCD為正方形,,且PA=AD=2,E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn).
(1)求證:面EFG⊥面PAB;
(2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值;
(3)求點(diǎn)A到面EFG的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=2,F(xiàn)是PD的中點(diǎn),E是線段AB上的點(diǎn).
(Ⅰ)當(dāng)E是AB的中點(diǎn)時(shí),求證:AF平面PEC;
(Ⅱ)要使二面角P-EC-D的大小為45°,試確定E點(diǎn)的位置.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知在長(zhǎng)方體ABCD-A′B′C′D′中,點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn),AB=BC=2,CC′=1.
(Ⅰ)求證:平面ACC′A′⊥平面BDE;
(Ⅱ)若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn),點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn),求二面角P-BD-E的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,AC∩BD=O.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起,使AC=1,得到三棱錐A-BCD,如圖所示.
(Ⅰ)若點(diǎn)M是棱AB的中點(diǎn),求證:OM平面ACD;
(Ⅱ)求證:AO⊥平面BCD;
(Ⅲ)求二面角A-BC-D的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)在第二象限的交點(diǎn), 且
(1)求橢圓的方程;
(2)與圓相切的直線交橢,若橢圓上一點(diǎn)滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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同步練習(xí)冊(cè)答案