Question

【題目】如圖，三棱柱中，各棱長(zhǎng)均相等， ， ， 分別為棱， ， 的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若三棱柱為直棱柱，求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析

【解析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件，借助運(yùn)用線面平行的判定定理分析推證；（2）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用線面角的定義構(gòu)造三角形進(jìn)行求解或建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量的數(shù)量積公式探求：

（Ⅰ）證明：在三棱柱中， ，且，

連結(jié)，在中，因?yàn)?/span>， 分別為棱， 的中點(diǎn)，所以， ．

又為的中點(diǎn)，可得，所以， ，

因此四邊形為平行四邊形，所以，

又平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）證明：由于底面是正三角形， 為的中點(diǎn)，

所以，

又，又，所以平面．

在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，交直線于，連結(jié)，

平面，由此得， 為直線與平面所成的角．

設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)為，可得，由，所以，

在中， ，

所以直線與平面所成角的正弦值為．