Question

對于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）下面給出兩組函數(shù)，h（x）是否分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
    第一組：f₁（x）=lg

x

10

，f₂（x）=lg10x，h（x）=lgx；
    第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
（2）設f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設f₁（x）=x（x＞0），f₂（x）=

1

x

（x＞0），取a＞0，b＞0，生成函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標為（2，8）．若對于任意正實數(shù)x₁，x₂且x₁+x₂=1．試問是否存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）建立h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），求解a，b是否存在即可得到結論；
（2）將不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[1，2]上有解，轉化為求函數(shù)的最值成立，即可求實數(shù)t的取值范圍；
（3）求出h（x）的表達式，利用基本不等式求對應函數(shù)的最值即可得到結論．

解答： 解：（1）第一組：若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
則lgx=a•lg

x

10

+blg10x=（a+b）lgx+（b-a），
則

a+b=1 a-b=0

，即a=

1

2

，b=

1

2

，
∴h（x）是分別為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
第二組：f₁（x）=x²-x，f₂（x）=x²+x+1，h（x）=x²-x+1；
若h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），
則x²-x+1=a•（x²-x）+b（x²+x+1）=（a+b）x²+（b-a）x+b，
則

b=1 b-a=-1 a+b=1

，即

b=1 a=2 a=0

，此時方程無解，
∴h（x）不是為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（2）若f₁（x）=log₂x，f₂（x）=log 

1

2

x，a=2，b=1，生成函數(shù)h（x）．
則h（x）=2f₁（x）+f₂（x）=2log₂x+log 

1

2

x=2log₂x-log₂x=log₂x，
則h（x）單調遞增，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
即等價為t＜-3h²（x）-2h（x）=-3log₂²x-2log₂x，
設s=log₂x，則s∈[1，2]，
則y=-3log₂²x-2log₂x=-3s²-2s，
對稱軸s=-

1

3

，
∴-16≤y≤-5，
若不等式3h²（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，
則t＜-5，
∴實數(shù)t的取值范圍是t＜-5；
（3）由題意，得h（x）=af₁（x）+bf₂（x）=ax+

b

x

，
則h（x）=ax+

b

x

≥2

ab

，
∴

2a+ b 2 =8 2 ab =8

，解得a=2，b=8，
∴h（x）=2x+

8

x

，（x＞0），
假設存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立．
于是設u=h（x₁）h（x₂）=4(x1+

4

x1

)(x2+

4

x2

)=4x1x2+

64

x1x2

+16(

x1

x2

+

x2

x1

)
=4x1x2+

64

x1x2

+16?

x 2 1 + x 2 2

x1x2

=4x1x2+

64

x1x2

+16?

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

=4x1x2+

80

x1x2

-32，
令t=x₁x₂，則t=x₁x₂≤(

x1+x2

2

)2=

1

4

，
即t∈(0，

1

4

]，
設u=4t+

80

t

-32，在t∈(0，

1

4

]上單調遞減，
∴u≥u(

1

4

)=289，
故存在最大的常數(shù)m=289．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉化為求函數(shù)的最值是解決本題的關鍵，本題運算量較大，綜合性較強，考查學生的計算能力．