Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F.過點(diǎn)A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若，求的值；

（3）設(shè)直線l:，延長AP交直線l于點(diǎn)Q，線段BO的中點(diǎn)為E，求證：點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)在直線PF上。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的方程，結(jié)合橢圓離心率的求法，即可求出結(jié)果；

（2）先由題意，得到直線AP的方程為代入橢圓方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，表示出與，進(jìn)而可得出結(jié)果；

（3）由直線AP的方程與直線l的方程聯(lián)立，求出，表示出直線EF的斜率，再由結(jié)合韋達(dá)定理，以及題中條件，表示出直線PF的斜率，再由題意，即可證明結(jié)論成立.

（1）因?yàn)闄E圓C：，

所以，，.

又，所以，，

所以橢圓C的離心率.

（2）因?yàn)橹本�AP的斜率為，且過橢圓C的左頂點(diǎn)，

所以直線AP的方程為.

代入橢圓C的方程，

得，即，

解得或（舍去），

將代入，得，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

又橢圓C的右頂點(diǎn)B（2t,0），

所以，，

所以.

（3）直線AP的方程為，

將代入，得，所以.

因?yàn)?/span>E為線段BQ的中點(diǎn)，所以，

因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為（t,0），

所以直線EF的斜率.

聯(lián)立消y得，.

由于，，

所以，

所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

所以直線PF的斜率.

而直線EF的斜率為2k，

若設(shè)，則有，即，

所以點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)在直線PF上.