已知二次函數(shù),關于x的不等式的解集為,其中m為非零常數(shù).設.
(1)求a的值;
(2)如何取值時,函數(shù)存在極值點,并求出極值點;
(3)若m=1,且x>0,求證:
(1)(2)當時,取任何實數(shù), 函數(shù)有極小值點;
當時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.…9分
(其中, )(3)見解析
【解析】(1)【解析】
∵關于的不等式的解集為,
即不等式的解集為,
∴.
∴.
∴.
∴.
(2)解法1:由(1)得.
∴的定義域為.
∴. ………3分
方程(*)的判別式
.………4分
①當時,,方程(*)的兩個實根為
………5分
則時,;時,.
∴函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.
∴函數(shù)有極小值點. ………6分
②當時,由,得或,
若,則
故時,,
∴函數(shù)在上單調遞增.
∴函數(shù)沒有極值點.………7分
若時,
則時,;時,;時,.
∴函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增.
∴函數(shù)有極小值點,有極大值點. ………8分
綜上所述, 當時,取任意實數(shù), 函數(shù)有極小值點;
當時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.…9分
(其中, )
解法2:由(1)得.
∴的定義域為.
∴. ………3分
若函數(shù)存在極值點等價于函數(shù)有兩個不等的零點,且
至少有一個零點在上. ………4分
令,
得, (*)
則,(**)…………5分
方程(*)的兩個實根為, .
設,
①若,則,得,此時,取任意實數(shù), (**)成立.
則時,;時,.
∴函數(shù)在上單調遞減,在上單調遞增.
∴函數(shù)有極小值點. ………6分
②若,則得
又由(**)解得或,
故.………7分
則時,;時,;時,.
∴函數(shù)在上單調遞增,在上單調遞減,在上單調遞增.
∴函數(shù)有極小值點,有極大值點. ………8分
綜上所述, 當時,取任何實數(shù), 函數(shù)有極小值點;
當時,,函數(shù)有極小值點,有極大值點.…9分
(其中, )
(3)∵, ∴.
∴
. ………10分
令,
則
.
∵,
∴…11分
12分
.………13分
∴,即. ……………14分
證法2:下面用數(shù)學歸納法證明不等式.
① 當時,左邊,右邊,不等式成立;
………10分
②假設當N時,不等式成立,即,
則
………11分
………12分
. ………13分
也就是說,當時,不等式也成立.
由①②可得,對N,都成立. …14分
科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)七十二第十章第九節(jié)練習卷(解析版) 題型:選擇題
利用下列盈利表中的數(shù)據(jù)進行決策,應選擇的方案是( )
(A)A1 (B)A2 (C)A3 (D)A4
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高考數(shù)學全程總復習課時提升作業(yè)七十一第十章第八節(jié)練習卷(解析版) 題型:填空題
某省實驗中學高三共有學生600人,一次數(shù)學考試的成績(試卷滿分150分)服從正態(tài)分布N(100,σ2),統(tǒng)計結果顯示學生考試成績在80分到100分之間的人數(shù)約占總人數(shù)的,則此次考試成績不低于120分的學生約有 人.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高中數(shù)學全國各省市理科導數(shù)精選22道大題練習卷(解析版) 題型:解答題
設,函數(shù).
(1)若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(2)若,寫出函數(shù)的單調區(qū)間(不必證明);
(3)若存在,使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)解,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014年高中數(shù)學全國各省市理科導數(shù)精選22道大題練習卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)
(I)若,是否存在a,bR,y=f(x)為偶函數(shù).如果存在.請舉例并證明你的結論,如果不存在,請說明理由;
〔II)若a=2,b=1.求函數(shù)在R上的單調區(qū)間;
(III )對于給定的實數(shù)成立.求a的取值范圍.
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設的定義域為D,若滿足條件:存在,使在上的值域是,則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則t的范圍是( )
A . B. C. D.
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