Question

已知直線kx-y+1=0（k＞0）與圓C：x2+y2=

1

4

相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M在圓C上，且有

OM

=

OA

+

OB

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)k=

15

．

Answer 1

分析：設(shè)AB的中點(diǎn)為 D，有

OM

=

OA

+

OB

=2

OD

，根據(jù)菱形對(duì)角線互相垂直平分，點(diǎn)O到直線AB距離等于半徑的一半，即圓心到直線kx-y+1=0的距離等于半徑的一半，由點(diǎn)到直線的距離公式列方程，解出實(shí)數(shù)k的值．

解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，有

OM

=

OA

+

OB

=2

OD

，
∴|

OM

|=2|

OD

|=

1

2

，
∴|

OD

|=

1

4

由點(diǎn)到直線的距離公式得 

1

4

=

|0-0+1|

k2+1

，
解得k=

15

，
故答案為

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量加減法的意義，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用．