(1)已知函數(shù)f(x)=-x2+4(x∈(-1,2)),P、Q是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn).
①試求直線PQ的斜率kPQ的取值范圍;
②求f(x)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍;
(2)由(1)你能得出什么結(jié)論?(只須寫出結(jié)論,不必證明),試運(yùn)用這個(gè)結(jié)論解答下面的問(wèn)題:已知集合MD是滿足下列性質(zhì)函數(shù)f(x)的全體:若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,對(duì)任意的x1,x2∈D,(x1≠x2)有|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|.
①當(dāng)D=(0,1)時(shí),f(x)=lnx是否屬于MD,若屬于MD,給予證明,否則說(shuō)明理由;
②當(dāng)D=(0,
3
3
)
,函數(shù)f(x)=x3+ax+b時(shí),若f(x)∈MD,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)①設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))由斜率公式用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出,再根據(jù)定義域求范圍.
②求出導(dǎo)函數(shù)的值域,即為割線的斜率的取值范圍.
(2)得出結(jié)論,函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率k=
y1-y2
x1-x2
(x1x2)
的取值范圍,
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍;對(duì)于①解出導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x∈(0,1),導(dǎo)數(shù)大于1,由(1)的結(jié)論|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|>1
,這與|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|矛盾,f(x)=lnx∉MD.對(duì)于②解出導(dǎo)函數(shù)由定義域知a<f′(x)<1+a.若f(x)∈MD,則可根據(jù)定義得出關(guān)于a的不等式組,解之,有解既得實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)=1 ①設(shè)P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2))是f(x)圖象上的任意兩點(diǎn)(x1≠x2),則kPQ=
f(x2)-f(x1)
x2-x1
=
(-x22+4)-(-x12+4)
x2-x1
=-(x2+x1)

由x1,x2∈(-1,2),知-(x1+x2)∈(-4,2),
∴直線PQ的斜率kPQ的取值范圍是(-4,2);
②由f′(x)=-2x,x∈(-1,2),得f′(x)∈(-4,2),
∴f(x)圖象上任一點(diǎn)切線的斜率k的范圍是(-4,2);
(2)由(1)得:函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)P、Q連線的斜率k=
y1-y2
x1-x2
(x1x2)
的取值范圍,
就是曲線上任一點(diǎn)切線的斜率(如果有的話)的范圍(其實(shí)由導(dǎo)數(shù)的定義可得).
①∵f′(x)=
1
x
,∴若x∈(0,1),f′(x)>1?|f′(x)|>1,
|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|>1
,當(dāng)x1,x2∈(0,1)時(shí),f(x)=lnx∉MD
②由f(x)=x3+ax+b?f′(x)=3x2+a,當(dāng)x∈(0,
3
3
)
時(shí),
a<f′(x)<1+a.∵f(x)∈MD
|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|,即|
f(x1)-f(x2)
x1-x2
|<1
,
a≥-1
1+a≤1
,得-1≤a≤0.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1,0].
點(diǎn)評(píng):考查函數(shù)圖象上兩點(diǎn)連線的斜率與函數(shù)在這一段上的導(dǎo)數(shù)的值域的關(guān)系,對(duì)于第(II)問(wèn),其中①判斷該函數(shù)是否符合定義,其②是根據(jù)函數(shù)符合定義轉(zhuǎn)化成不等式組求參數(shù).請(qǐng)讀者認(rèn)真體會(huì)這兩個(gè)題型的同同.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).①求函數(shù)f(x)的定義域.②判斷函數(shù)的奇偶性,并給予證明.
(2)已知函數(shù)f(x)=ax+3,(a>0且a≠1),求函數(shù)f(x)在[0,2]上的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(1)已知函數(shù)f(x)=
x+3(x≤0)
2x(x>0)
,則f(f(-2))為
2
2

(2)不等式f(x)>2的解集是
(-1,0]∪(1,+∞)
(-1,0]∪(1,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2006•浦東新區(qū)模擬)(1)已知函數(shù)f(x)=ax-x(a>1).
①若f(3)<0,試求a的取值范圍;
②寫出一組數(shù)a,x0(x0≠3,保留4位有效數(shù)字),使得f(x0)<0成立;
(2)若曲線y=x+
p
x
(p≠0)上存在兩個(gè)不同點(diǎn)關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)當(dāng)0<a<1時(shí),就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點(diǎn)情況提出你的問(wèn)題,并加以解決.(說(shuō)明:①函數(shù)f(x)=xlnx有如下性質(zhì):在區(qū)間(0,
1
e
]
上單調(diào)遞減,在區(qū)間[
1
e
,1)
上單調(diào)遞增.解題過(guò)程中可以利用;②將根據(jù)提出和解決問(wèn)題的不同層次區(qū)別給分.)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出下列四個(gè)命題:
(1)已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2   x≤2
log2(x+a)  x>2
在定義域內(nèi)是連續(xù)函數(shù),數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an=
1
an
,則數(shù)列{an}的所有項(xiàng)之和為1.
(2)過(guò)點(diǎn)P(3,3)與曲線(x-2)2-
(y-1)2
4
=1有唯一公共點(diǎn)的直線有且只有兩條.
(3)向量
a
=(x2,x+1)
b
=(1-x,t)
,若函數(shù)f(x)=
a
b
在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(5,+∞);
(4)我們定義非空集合A的真子集的真子集為A的“孫集”,則集合{2,4,6,8,10}的“孫集”有26個(gè).
其中正確的命題有
(1)(2)(4)
(1)(2)(4)
(填序號(hào))

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