【題目】橢圓: 的離心率為,過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限相交于點(diǎn), .
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn),且點(diǎn)與點(diǎn), 不重合,直線與直線相交于點(diǎn),直線與直線相交于點(diǎn),求證:以線段為直徑的圓恒過定點(diǎn).
【答案】(1) . (2)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)由題意可得,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意可得,結(jié)合題意可得圓的方程為,則以線段ST為直徑的圓恒過定點(diǎn).
試題解析:
(1)解: ,又,聯(lián)立解得: ,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)證明:設(shè)直線AP的斜率為k,則直線AP的方程為,
聯(lián)立得.
,
整理得: ,故,
又, (分別為直線PA,PB的斜率),
所以,
所以直線PB的方程為: ,
聯(lián)立得,
所以以ST為直徑的圓的方程為: ,
令,解得: ,
所以以線段ST為直徑的圓恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù), 為曲線在點(diǎn)處的切線.
(Ⅰ)求的方程.
(Ⅱ)當(dāng)時,證明:除切點(diǎn)之外,曲線在直線的下方.
(Ⅲ)設(shè), , ,且滿足,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上且過點(diǎn),離心率是.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)直線過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn),若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列是數(shù)列,且,求,的值;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列是數(shù)列,則的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);
(Ⅲ)若數(shù)列為數(shù)列,且中不含值為零的項(xiàng),記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個數(shù)為,求所有可能取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在 中,內(nèi)角的對邊分別為,已知,且, .
(1)求的面積.
(2)已知等差數(shù)列的公差不為零,若,且成等比數(shù)列,求的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn),求的方程;
⑵ 若,求證:當(dāng)時, 恒成立;
⑶ 若當(dāng)時, 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天100顆種子浸泡后的發(fā)芽率,得到如下表格:
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25” 的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請根據(jù)這5天中的另3天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程;
(3)若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考公式: , .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,若橢圓經(jīng)過點(diǎn),且的面積為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與以原點(diǎn)為圓心,半徑為的圓交于,兩點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn),且,當(dāng)取得最小值時,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),則(ⅰ)____________.
(ⅱ)給出下列三個命題:①函數(shù)是偶函數(shù);②存在,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形;③存在,使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形.
其中,所有真命題的序號是____________.
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