【題目】已知函數(shù)f(x)=sin x,g(x)=mx (m為實數(shù)).

(1)求曲線yf(x)在點處的切線方程;

(2)求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)若m=1,證明:當(dāng)x>0時,f(x)<g(x)+.

【答案】(1)xy+1-=0(2)見解析

【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求出得到切線的斜率,求出的值,求得切點坐標(biāo),由直線方程的點斜式得到切線方程;(2)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后討論分析導(dǎo)函數(shù)的符號,從而求得的單調(diào)遞減區(qū)間;(3)分別構(gòu)造函數(shù),

然后利用其導(dǎo)函數(shù)的符號判斷所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性,從而證明答案.

試題解析:(1)解 由題意得所求切線的斜率kf=cos.切點P,則切線方程為y.即xy+1-=0.

(2)解 g′(x)=mx2.

①當(dāng)m≤0時,g′(x)≤0,則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,+∞);

②當(dāng)m>0時,令g′ (x)<0,解得x<-或x>,則g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,-),(,+∞).

(3)證明 當(dāng)m=1時,g(x)=x .

h(x)=g(x)+ f(x)=x-sin x,x∈[0,+∞),

h′(x)=1-cos x≥0,則h(x)是[0,+∞)上的增函數(shù).

故當(dāng)x>0時,h(x)>h(0)=0,

即sin xx,f(x)<g(x)+ .

【方法點晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想的應(yīng)用,屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是:(1)求出處的導(dǎo)數(shù),即在點 出的切線斜率(當(dāng)曲線處的切線與軸平行時,在 處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為);(2)由點斜式求得切線方程.

練習(xí)冊系列答案
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