Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)為a，E為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BD₁∥平面EAC；
（2）求點(diǎn)D₁到平面EAC的距離．

Answer 1

（1）證明：連接BD交AC于F，連EF．（1分）
因?yàn)镕為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所長(zhǎng)F為AC、BD的中點(diǎn)．（3分）
在DDD₁B中，E、F分別為DD₁、DB的中點(diǎn)，
所以EF∥D₁B．（5分）
又EF?平面EAC，所以BD₁∥平面EAC．（7分）
（2）設(shè)D₁到平面EAC的距離為d．
在DEAC中，EF^AC，且AC=

2

a，EF=

3

2

a，
所以S△EAC=

1

2

EF•AC=

6

4

a2，
于是VD1-EAC=

1

3

dS△EAC=

6

12

a2d．（9分）
因?yàn)?span >VA-ED1C=

1

3

AD•S△ED1C=

1

3

a×

1

2

×

1

2

a×a=

1

12

a3，（11分）
又VD1-EAC=VA-ED1C，即

6

12

a2d=

1

12

a3，（13分）
解得d=

6

6

a，故D₁到平面EAC的距離為

6

6

a．（14分）