Question

某遠(yuǎn)洋捕漁船到遠(yuǎn)海捕魚,由于遠(yuǎn)海漁業(yè)資源豐富,每撒一次網(wǎng)都有w萬(wàn)元的收益;同時(shí),又由于遠(yuǎn)海風(fēng)云未測(cè),每撒一次網(wǎng)存在遭遇沉船事故的可能,其概率為(常數(shù)k為大于1的正整數(shù)).假定,捕魚船噸位很大,可以裝下n次撒網(wǎng)所捕的魚,而在每次撒網(wǎng)時(shí),發(fā)生不發(fā)生沉船事故與前一次撒網(wǎng)無(wú)關(guān),若發(fā)生沉船事故,則原來(lái)所獲的收益將隨船的沉沒(méi)而不存在,又已知船長(zhǎng)計(jì)劃在此處撒網(wǎng)n次.

(1)當(dāng)n=3時(shí),求捕魚收益的期望值;

(2)試求n的值,使這次遠(yuǎn)洋捕魚收益的期望值達(dá)到最大.

Answer 1

解:(1)列表:

收益	0	3ω
P	1-(1)3	(1)3

所以收益的期望值=3w(1)³.

(2)列表:

收益	0	nω
P	1-(1)n	(1)n

因此,撒了n次網(wǎng)收益的期望值等于f(n)=wn(1)ⁿ.

f(n+1)=w(n+1)(1)ⁿ⁺¹=wn(1)ⁿ(1)=f(n)［1+］.

∵［1+］≥1等價(jià)于(k-1)-n≥0,得n≤k-1,

∴當(dāng)n＜k-1時(shí),f(n+1)＞f(n);當(dāng)n=k-1時(shí),f(n+1)=f(n);當(dāng)n＞k-1時(shí),f(n+1)＜f(n);

因此,當(dāng)n=k-1時(shí),f(n)達(dá)到最大.