Question

已知圓C：（x-3）²+（y-4）²=4和直線l：x+2y+2=0，直線m經(jīng)過圓C外定點(diǎn)A（1，0）．
（1）若m與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，問：當(dāng)圓心C到直線m距離取何值時(shí)，三角形CPQ的面積取最大值，并寫出此時(shí)m的直線方程；
（2）若直線m與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，與l交于N點(diǎn)，且線段PQ的中點(diǎn)為M，則判斷|AM|•|AN|是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，設(shè)圓心到直線的距離為d，則建立三角形CPQ的面積s關(guān)于d的函數(shù)關(guān)系式，求函數(shù)的最值，再利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程即可得解
（2）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，把所設(shè)直線與直線l方程聯(lián)立，解得點(diǎn)N的坐標(biāo)，再將直線與圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)，而A（1，0），利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算并化簡得到的|AM|•|AN|的代數(shù)式即可得解

解答：解：（1）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
設(shè)圓心到直線的距離為d又∵三角形CPQ面積

S= 1 2 d×2 4-d2 =d 4-d2 = 4d2-d4 = -(d2-2)2+4 ，

∴當(dāng)d=

2

時(shí)，S取得最大值2∴d=

|2k-4|

1+k2

=

2

，k=1或k=7
∴直線方程為y=x-1，或y=7x-7
（2）解：直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，
可設(shè)直線方程為kx-y-k=0
由

x+2y+2=0 kx-y-k=0

得N(

2k-2

2k+1

，-

3k

2k+1

)
再由

y=kx-k (x-3)2+(y-4)2=4

得（1+k²）x²-（2k²+8k+6）x+k²+8k+21=0．
∴x^+x^=

2k2+8k+6

1+k2

得M(

k2+4k+3

1+k2

，

4k2+2k

1+k2

)
∴|AM|•|AN|=

( k2+4k+3 1+k2 -1)2+( 4k2+2k 1+k2 )2

•

( 2k-2 2k+1 -1)2+(- 3k 2k+1 )2

=

2|2k+1|

1+k2

1+k2

•

3 1+k2

|2k+1|

=6為定值

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，兩點(diǎn)之間的距離公式，重點(diǎn)考查了對(duì)利用韋達(dá)定理，設(shè)而不求的解題方法的掌握，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)，耐心求解