Question

（上海春卷22）在平面上，給定非零向量

b

，對(duì)任意向量

a

，定義

a′

=

a

-

2( a • b )

|b| 2

b

．
（1）若

a

=(2，3)，

b

=(-1，3)，求

a′

；
（2）若

b

=(2，1)，證明：若位置向量

a

的終點(diǎn)在直線Ax+By+C=0上，則位置向量

a′

的終點(diǎn)也在一條直線上．

Answer 1

分析：（1）把已知

a′

=

a

-

2( a • b )

|b| 2

b

，

a

=(2，3)，

b

=(-1，3)代入，利用坐標(biāo)表示即可
（2）設(shè)

a

=(x，y)，

a′

=(x′，y′)，由

a′

=

a

-

2( a • b )

|b| 2

b

可先找出x、yx′、y′之間的關(guān)系，向量

a

的終點(diǎn)在直線Ax+By+C=0上，把向量

a

的坐標(biāo)代入，然后代換成關(guān)于

a′

的坐標(biāo)即可

解答：解：（1）

a′

=

a

-

2( a • b )

| b | 2

b

=(2，3)-

2×(-2+9)

10

• (-1，3)=(

17

5

，-

6

5

)
（2）設(shè)

a

=(x，y)，

a′

=(x′，y′)則
(x′，y′)=(x，y)-

2

5

(2x+y)•(2，1)=(-

3

5

x-

4

5

y，-

4

5

x+

3

5

y)
∴

x′=- 3 5 x- 4 5 y y′=- 4 5 x+ 3 5 y

   于是

x=- 3 5 x′- 4 5 y′ y=- 4 5 x′+ 3 5 y′

故A(-

3

5

x′-

4

5

y′ )+B(-

4

5

x′ +

3

5

y′)+C=0
從而-

1

5

(3A+4B)x′+

1

5

(-4A+3B)y′+C=0
由于A、B不全為零，所以3A+4B、-4A+3B也不全為零
于是

a′

的終點(diǎn)在直線-

1

5

(3A+4B)x+

1

5

(-4A+3B)y+C=0上

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的基本運(yùn)算，判斷點(diǎn)在直線上，屬于基本方法的考查．