Question

【題目】已知函數(shù)在x=1處的切線與直線平行。

（Ⅰ）求a的值并討論函數(shù)y=f(x)在上的單調(diào)性。

（Ⅱ）若函數(shù) (為常數(shù))有兩個(gè)零點(diǎn)，

(1)求m的取值范圍；

(2)求證： 。

Answer 1

【答案】（Ⅰ），函數(shù)y=f(x)在上單調(diào)遞減; （Ⅱ）（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，由在x=1處的切線知，即可求a的值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可；

（Ⅱ）由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)結(jié)合（Ⅰ）可知，由，構(gòu)造，求導(dǎo)證明.

試題解析：

（Ⅰ）

，令，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，

，即時(shí)， ，

所以函數(shù)y=f(x)在上單調(diào)遞減。

（Ⅱ） (1)由條件可知， ，

在, ，

要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則2m<0,即

(2)由 (Ⅰ)可知， ，

令，

所以即

又在上單調(diào)遞減，所以即.