Question

(本題滿分15分)四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，E為AD的中點(diǎn)，ABCE為菱形，∠BAD＝120°，PA＝AB，G，F(xiàn)分別是線段CE，PB上的動點(diǎn)，且滿足＝＝λ∈(0，1)．

(Ⅰ) 求證：FG∥平面PDC；
(Ⅱ) 求λ的值，使得二面角F－CD－G的平面角的正切值為．

Answer 1

方法一：
(Ⅰ) 證明：如圖以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，其中K為BC的中點(diǎn)，

不妨設(shè)PA＝2，則，，
，，，．
由，得
，，
，
設(shè)平面的法向量=(x，y，z)，則
，，
得 
可取=(，1，2)，于是
，故，又因?yàn)镕G平面PDC，即//平面．
(Ⅱ) 解：，，
設(shè)平面的法向量，則，，
可取，又為平面的法向量．
由，因?yàn)閠an＝，cos＝，
所以，解得或(舍去)，
故．                         
方法二：
(Ⅰ) 證明：延長交于，連，．得平行四邊形，則// ，

所以．
又，則，
所以//．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823192944375465.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，
所以//平面．    …………6分
(Ⅱ)解：作FM于，作于，連．
則，為二面角的平面角．
，不妨設(shè)，則，，
由  得 ，即 ．

略