Question

【題目】已知函數f（x）= ﹣2alnx+（a﹣2）x，a∈R．
（1）當a=﹣1時，求函數f（x）的極值；
（2）當a＜0時，討論函數f（x）單調性；
（3）是否存在實數a，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 ＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）當a=﹣1時， ，

．

當0＜x＜1或x＞2時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；

當1＜x＜2時，f'（x）＜，f（x）單調遞減，

所以x=1時， ；

x=2時，f（x）極小值=f（2）=2ln2﹣4．

（2）當a＜0時， = = ，

①當﹣a＞2，即a＜﹣2時，由f'（x）＞0可得0＜x＜2或x＞﹣a，此時f（x）單調遞增；

由f'（x）＜0可得2＜x＜﹣a，此時f（x）單調遞減；

②當﹣a=2，即a=﹣2時，f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此時f（x）單調遞增；

③當﹣a＜2，即﹣2＜a＜0時，由f'（x）＞0可得0＜x＜﹣a或x＞2，此時f（x）單調遞增；

由f'（x）＜0可得﹣a＜x＜2，此時f（x）單調遞減．

綜上：當a＜﹣2時，f（x）增區(qū)間為（0，2），（﹣a，+∞），減區(qū)間為（2，﹣a）；

當a=﹣2時，f（x）增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；

當﹣2＜a＜0時，f（x）增區(qū)間為（0，﹣a），（2，+∞），減區(qū)間為（﹣a，2）．

（3）假設存在實數a，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立，

不妨設m＞n＞0，則由 恒成立可得：f（m）﹣am＞f（n）﹣an恒成立，

令g（x）=f（x）﹣ax，則g（x）在（0，+∞）上單調遞增，所以g'（x）≥0恒成立，

即f'（x）﹣a≥0恒成立，

∴ ，即 恒成立，又x＞0，

∴x2﹣2x﹣2a≥0在x＞0時恒成立，

∴ ，

∴當 時，對任意的m，n∈（0，+∞），且m≠n，有 恒成立．

【解析】（1）根據導數求得函數f（x）的單調區(qū)間，進而求得函數的極值；（2）先求得函數的導數函數，再利用導數函數的特點對a進行分類，進而求得函數的單調區(qū)間；（3）本題的關鍵是對所給的函數不等式轉化為求函數g（x）在（0，+∞）上單調遞增的問題.
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．