Question

已知函數(shù)f(x)=x2+

a

x

-1( x≠0，常數(shù)a∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）若a=16，判斷函數(shù)函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞）時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)的奇偶性的定義，分a=0和 a≠0兩種情況，分別判斷函數(shù)的奇偶性．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，對(duì)?x∈（-∞，0）∪（0，+∞），有f（-x）=（-x）²-1=x²-1=f（x），
所以，f（x）為其定義域上的偶函數(shù)．
當(dāng)a≠0時(shí)，f(2)=3+

a

2

，f(-2)=3-

a

2

，由f（-2）+f（2）=6≠0得，f（x）不是奇函數(shù)；
由f（-2）-f（2）=-a≠0得，f（x）不是偶函數(shù)．
綜上，當(dāng)a≠0時(shí)，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（2）a=16時(shí)，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，
證明如下：設(shè)2≤x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x12+

16

x1

-1)-(x22+

16

x2

-1)=x12-x22+

16

x1

-

16

x2

=(x1-x2)(x1+x2)+

16(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)[(x1+x2)-

16

x1x2

]=(x1-x2)•

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

，
因?yàn)?≤x₁＜x₂，
所以x₁-x₂＜0，且x₁+x₂＞4，x₁x₂＞4，
故有（x₁+x₂）x₁x₂＞16，
所以(x1-x2)•

(x1+x2)x1x2-16

x1x2

＜0，
也即f（x₁）-f（x₂）＜0，
f（x₁）＜f（x₂），
由單調(diào)性定義知，f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明方法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．