Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中，|OA|=2，| OC |=

3

，點(diǎn)P，Q滿足

OP

=

λOA

，

AQ

=( 1-λ )

AB

  ( λ∈R )，點(diǎn)D是C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，直線DP與CQ相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線與點(diǎn)M的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△AEF的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）由向量運(yùn)算得到直線DP的方程和直線CQ的方程，消去參數(shù)即可得到M的軌跡方程；
（2）欲求△AEF的面積的最大值，先將△AEF的面積表示成某個變量的函數(shù)，再利用基本不等式求函數(shù)的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），由圖可知A（2，0），B ( 2 ， 

3

 )，C ( 0 ， 

3

 )，D ( 0 ， -

3

 )．
由

OP

=λ

OA

，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2λ，0）；
由

AQ

=( 1-λ )

AB

，得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( 2 ， 

3

 ( 1-λ ) )．
于是，當(dāng)λ≠0時(shí)，直線DP的方程為y+

3

=

3

2λ

x，①
直線CQ的方程為y-

3

=

3 λ

-2

x．②
①×②，得y2-3=-

3

4

x2，即

x2

4

+

y2

3

=1．
當(dāng)λ=0時(shí)，點(diǎn)M即為點(diǎn)C，而點(diǎn)C的坐標(biāo)( 0 ， 

3

 )也滿足上式．
故點(diǎn)M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)（1，0）的直線EF的方程為x=my+1，且設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．
由

x=my+1   x2 4 + y2 3 =1

得（3m²+4）y²+6my-9=0．③
由于上述方程的判別式△=（6m）²+36（3m²+4）＞0，所以y₁，y₂是方程③的兩根，
根據(jù)求根公式，可得| y1-y2 |=

12 m2+1

3m2+4

．
又A（2，0），所以△AEF的面積S=

1

2

| y1-y2 |=

6 m2+1

3m2+4

．
令

m2+1

=t（t≥1），則m²=t²-1．
于是S ( t )=

6t

3t2+1

=

2

t+ 1 3t

，t≥1．
記f ( t )=t+

1

3t

，t≥1，則f′ ( t )=1-

1

3t2

=

3t2-1

3t2

．
因?yàn)楫?dāng)t≥1時(shí)，f'（t）＞0，所以f ( t )=t+

1

3t

在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
故當(dāng)t=1時(shí)，f（t）取得最小值

4

3

，
此時(shí)S ( t )=

2

t+ 1 3t

取得最大值

3

2

．
綜上所述，當(dāng)m=0時(shí)，即直線EF垂直于x軸時(shí)，△AEF的面積取得最大值

3

2

．

點(diǎn)評：本小題主要考查向量的運(yùn)算、直線方程、求曲線的方程以及函數(shù)最值等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法及推理、運(yùn)算能力．