Question

14．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₃、S₉、S₆成等差數列，則下列說法錯誤的是（　�。�

• A． a₃、a₆、a₉成等比數列
• B． a₃、a₆、a₉成等差數列
• C． S₂、S₈、S₅成等比數列
• D． S₂、S₈、S₅成等差數列

Answer 1

分析 由等比數列的定義，驗證得當q=1時不符合題意，因此得q≠1．再由等比數列的求和公式，結合S₃、S₉、S₆成等差數列建立關于q的方程，解之即可得到q³的值，再分別驗證即可判斷．

解答 解：若等比數列{a_n}公比q=1，則S₃+S₆=9a₁，
而2S₉=18a₁，與S₃+S₆=2S₉矛盾，
∴q≠1，
∵S₃+S₆=2S₉，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=$\frac{2{a}_{1}（1-{q}^{9}）}{1-q}$，
整理，得2q⁹-q⁶-q³=0，
解得q³=-$\frac{1}{2}$或q³=1，
∵q≠1，∴q³=-$\frac{1}{2}$，
∴a₃、a₆、a₉是以-$\frac{1}{2}$為公比的等比數列，
故A準確
∵S₈=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，S₂=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$，S₅=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$，
若S₂、S₈、S₅成等差數列，
則S₂+S₅=2S₈，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}$+$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{5}）}{1-q}$=2$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{8}）}{1-q}$，
∴1+q³=2q⁶，成立
故S₂、S₈、S₅成等差數列，不成等比數列
故D正確，
由等比數列的通項公式，可得
a₉=a₁q⁸，a₃+a₆=a₁q²+a₁q⁵，
∵q³=-$\frac{1}{2}$
∴2a₉-（a₃+a₆）=a₁q²（2q⁶-1-q³）
=a₁q²[2×（-$\frac{1}{2}$）²-1-（-$\frac{1}{2}$））=0
∴2a₉=a₃+a₆，可得a₃、a₉、a₆也成等差數列，
故B正確，
故選：C．

點評 本題著重考查了等比數列的通項公式與求和公式，考查了等差中項的概念，屬于中檔題．