Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=

1

2

，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x²=-12y的焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與曲線|y|=k•x（k＞0）的交點(diǎn)為B、C，求△OBC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點(diǎn)，結(jié)合離心率e=

1

2

，及a，b，c的平方關(guān)系可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），AB交x軸于點(diǎn)D，由對(duì)稱性知S_△OAB=2S_△OAD，根據(jù)點(diǎn)A在直線OA、橢圓上可用k表示出x₀，從而可把△OAB面積表示為關(guān)于k的函數(shù)，利用基本不等式即可求得其最大值．

解答： 解：（Ⅰ）拋物線x²=-12y的焦點(diǎn)為（0，-3），∴b=3       …（1分）
又橢圓離心率e=

c

a

=

1

2

，∴a2=9+

1

4

a2，∴a²=12…（2分）
所以橢圓C的方程為

x2

12

+

y2

9

=1            …（4分）
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（x₀，y₀），（x₀＞0，y₀＞0），則y₀=kx₀，
設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D，由對(duì)稱性知：
S_△OAB=2S_△OAD=2×

1

2

x₀y₀=kx₀²，
由y₀=kx₀，代入橢圓方程，可得x₀²=

36

3+4k2

，
所以S_△OAB=k•

36

3+4k2

=

36

3 k +4k

≤

36

2 3 k •4k

=3

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)

3

k

=4k，即k=

3

2

時(shí)取等號(hào)，
所以△OAB面積的最大值為3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及橢圓方程的求解，考查函數(shù)思想，解決（Ⅱ）問的關(guān)鍵是把三角形OAB面積表示為函數(shù)，正確運(yùn)用基本不等式是解決基礎(chǔ)．