已知函數(shù)x,y滿足x≥1,y≥1  loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范圍.

當(dāng)a>1時，logaxy的最大值為2+2，最小值為1+；

當(dāng)0＜a＜1時，logaxy的最大值為1－，最小值為2－2.


解析:

由已知等式得  loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),

即(logax－1)2+(logay－1)2=4,       

令u=logax,v=logay,k=logaxy,則(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.

在直角坐標(biāo)系uOv內(nèi)，

圓弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)與平行直線系v=－u+k有公共點，

分兩類討論:

(1)當(dāng)u≥0,v≥0時，即a>1時，結(jié)合判別式法與代點法得

1+≤k≤2(1+);

(2)當(dāng)u≤0,v≤0,即0＜a＜1時，同理得到2(1－)≤k≤1－. 

綜上，當(dāng)a>1時，logaxy的最大值為2+2，最小值為1+；

當(dāng)0＜a＜1時，logaxy的最大值為1－，最小值為2－2. 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列四個命題：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，則函數(shù)g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零點；
②對于函數(shù)f(x)=x
1
2
的定義域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），則必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定義在R上的兩個函數(shù)，對任意x、y∈R滿足關(guān)系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0時f（x）•g（x）≠0．則函數(shù)f（x）、g（x）都是奇函數(shù)．
其中正確命題的序號是
①③
①③
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對定義域中的任意x，等式f（kx）=
k2
+f（x）恒成立．
（1）判斷一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合M；
（2）證明函數(shù)f（x）=log2x屬于集合M，并找出一個常數(shù)k；
（3）已知函數(shù)f（x）=logax（ a＞1）與y=x的圖象有公共點，證明f（x）=logax∈M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式是定義在R上的奇函數(shù)，其值域為[-數(shù)學(xué)公式]．
（1）試求a、b的值；
（2）函數(shù)y=g（x）（x∈R）滿足：①當(dāng)x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函數(shù)g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=是定義在R上的奇函數(shù)，其值域為[-]．
（1）試求a、b的值；
（2）函數(shù)y=g（x）（x∈R）滿足：①當(dāng)x∈[0，3）時，g（x）=f（x）；②g（x+3）=g（x）lnm（m≠1）．
①求函數(shù)g（x）在x∈[3，9）上的解析式；
②若函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上的值域是閉區(qū)間，試探求m的取值范圍，并說明理由．

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