已知四棱錐P－ABCD的三視圖和直觀圖如下：

(1)求四棱錐P－ABCD的體積；

(2) 若E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)，是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

(3) 若F是側(cè)棱PA上的動點(diǎn)，證明：不論點(diǎn)F在何位置，都不可能有BF⊥平面PAD。

 

【答案】

(1) (2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE成立(3) 假設(shè)BF⊥平面PAD，這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD

【解析】

試題分析：(1)由三視圖可知，四棱錐中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，PC＝2，∴VP－ABCD＝·PC·S底＝×2×1＝.   3分

(2)不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE成立．   4分

連接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且∴BD⊥平面PAC，   7分

當(dāng)E在PC上運(yùn)動時，，∴BD⊥AE恒成立．   8分

（3）用反證法：假設(shè)BF⊥平面PAD，  9分

又  11分

 ， 12分這與Rt△PAD中∠PDA為銳角矛盾．∴ BE不可能垂直于平面SCD  13分

考點(diǎn)：錐體體積及線線垂直線面垂直的判定

點(diǎn)評：椎體體積公式，本題中在求解第二問第三問時還可通過空間向量的方法求解，根據(jù)已知條件可建立以點(diǎn)為原點(diǎn)，為坐標(biāo)軸的坐標(biāo)系，通過直線的方向向量與平面的法向量判定線面位置關(guān)系

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

9、已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，
平面PBC垂直平面ABCD，試探求直線PA與BD的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn)，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．
（1）求證：AB∥平面PCD
（2）求證：BC⊥平面PAC
（3）求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求此時異面直線AE和CH所成的角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)．
（1）證明：AE⊥PD；
（2）設(shè)AB=2，若H為線段PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
，求AP的長度．

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