Question

已知橢圓C中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大值為，最小值為．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若直線：與橢圓交于不同的兩點(diǎn)（不是左、右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右頂點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）設(shè)橢圓的長半軸為，半焦距為，則
     解得 
∴ 橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為  ．    ………………… 4分
（Ⅱ）由方程組  消去，得
 
由題意：△  
整理得：   ① ……7分
設(shè)，則
，………………… 8分
由已知， ，且橢圓的右頂點(diǎn)為
∴　　　　　………………… 10分
即 
也即 
整理得：
解得：  或，均滿足①  ……………………… 12分
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，舍去
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過定點(diǎn)，
故，直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為．……………………… 14分