Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)，在（Ⅰ）的條件下，試判斷在上是否存在極值．若存在，判斷極值的正負；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當時， 在上不存在極值；當時， 在上存在極值，且極值均為正．

【解析】試題分析：（1）不等式恒成立問題，一般先利用變量分離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題： 的最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值，易得在上單調(diào)遞減，所以，因此，（2）即研究導(dǎo)函數(shù)的零點情況，先求導(dǎo)數(shù)，確定研究對象為，再求目標函數(shù)導(dǎo)數(shù)，確定單調(diào)性：先增后減，兩個端點值都小于零，討論最大值是否大于零，最后結(jié)合零點存在定理確定極值點個數(shù).

試題解析：解：（Ⅰ）由，得．

即在上恒成立．

設(shè)函數(shù)， ．

則．

∵，∴．

∴當時， ．

∴在上單調(diào)遞減．

∴當時， ．

∴，即的取值范圍是．

（Ⅱ）， ．

∴．

設(shè)，則．

由，得．

當時， ；當時， ．

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

且， ， ．

據(jù)（Ⅰ），可知．

（ⅰ）當，即時， 即．

∴在上單調(diào)遞減．

∴當時， 在上不存在極值．

（ⅱ）當，即時，

則必定，使得，且．

當變化時， ， ， 的變化情況如下表：

	-	0	+	0	-
	-	0	+	0	-
	↘	極小值	↗	極大值	↘

∴當時， 在上的極值為，且．

∵．

設(shè)，其中， ．

∵，∴在上單調(diào)遞增， ，當且僅當時取等號．

∵，∴．

∴當時， 在上的極值．

綜上所述：當時， 在上不存在極值；當時， 在上存在極值，且極值均為正．

注：也可由，得．令后再研究在上的極值問題．