【題目】如圖,矩形中,,,為的中點(diǎn).把沿翻折,使得平面平面.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求所在直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)證明空間中兩異面直線垂直的常用方法為先證明直線與平面垂直,再證明另一條直線在這個平面內(nèi);(Ⅱ)用等體積法求解,或建立空間直角坐標(biāo)系,利用直線的方向向量和平面的法向量的夾角求解.
解:(Ⅰ)證明:∵為的中點(diǎn),
矩形中,,,
∴,則,
∴.
∵平面平面,
平面平面,
∴平面,
∴.
(Ⅱ)解法一:取的中點(diǎn),連接,,則.
∵平面平面,平面平面,
∴平面,
∴,
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,
∴.
在中,,,則,
∴,則.
設(shè)所在直線與平面所成角為,
∵,∴,
即所在直線與平面所成角的正弦值為
解法二:取的中點(diǎn),連接,則,
取的中點(diǎn),連接,則,
∴平面,
∴以為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸,建
立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
則,,,,
∴,,,
∴設(shè)為平面的一個法向量,
∴,,
所以,令,則
∴.
設(shè)所在直線與平面所成角為,
∴,
即所在直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知的兩個頂點(diǎn)坐標(biāo)是,,的周長為,是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)滿足.
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(2)若互相平行的兩條直線,分別過定點(diǎn)和,且直線與曲線交于兩點(diǎn),直線與曲線交于兩點(diǎn),若四邊形的面積為,求直線的方程.
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【題目】如圖所示,平面四邊形中,為直角,為等邊三角形,現(xiàn)把沿著折起,使得平面與平面垂直,且點(diǎn)M為的中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)若,求直線與平面所成角的余弦值.
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