已知橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上,的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄如下:、、、.
(1)經(jīng)判斷點(diǎn),在拋物線上,試求出的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)并求出橢圓的離心率;
(3)過的焦點(diǎn)直線與橢圓交不同兩點(diǎn)且滿足,試求出直線的方程.
(1);(2);(3)或.
解析試題分析:(1)先設(shè)拋物線,然后將或代入可得,從而確定了的方程,也進(jìn)一步確定、不在上,只能在上;設(shè):,把點(diǎn)、代入得,求解即可確定的方程;(2)由(1)中所求得的方程不難得到的焦點(diǎn)及橢圓的離心率;(3)先假設(shè)所求直線的方程(或,不過此時(shí)要先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況),然后聯(lián)立直線與橢圓的方程,消去消去,得,得到,再得到,要使,只須,從中求解即可得到,從而可確定直線的方程.
試題解析:(1)設(shè)拋物線,則有,而、在拋物線上 2分
將坐標(biāo)代入曲線方程,得 3分
設(shè):,把點(diǎn)、代入得
解得
∴方程為 6分
(2)顯然,,所以拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為
由(1)知,,
所以橢圓的離心率為 8分
(3)法一:直線過拋物線焦點(diǎn),設(shè)直線的方程為,兩交點(diǎn)坐標(biāo)為,
由消去,得 10分
∴①
② 12分
由,即,得
將①②代入(*)式,得,解得 14分
所求的方程為:或 15分
法二:容易驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí),不滿足題意 9分
當(dāng)直線斜率存在時(shí),直線過拋物線焦點(diǎn),設(shè)其方程為,與的交點(diǎn)坐標(biāo)為
由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為8,且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E:x2=2py(p>0)上.
(1)求拋物線E的方程;
(2)設(shè)動(dòng)直線l與拋物線E相切于點(diǎn)P,與直線y=-1相交于點(diǎn)Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的中心為原點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率為,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),點(diǎn)在雙曲線上,且滿足.
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)證明:直線與直線的斜率之積是定值;
(3)若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,過點(diǎn)作動(dòng)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)、,在線段上去異于點(diǎn)、的點(diǎn),滿足,證明點(diǎn)恒在一條定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓C:=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,且過點(diǎn)(2,).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)M,N,P,Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn),兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點(diǎn)F1,F(xiàn)2,且這兩條直線互相垂直,求證:為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
拋物線的方程為,過拋物線上一點(diǎn)()作斜率為的兩條直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(三點(diǎn)互不相同),且滿足(且).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線上一點(diǎn),滿足,證明線段的中點(diǎn)在軸上;
(3)當(dāng)=1時(shí),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求為鈍角時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),準(zhǔn)線方程為x=-.
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P在y軸上的射影是Q,點(diǎn)M,試判斷|PM|+|PQ|是否存在最小值,若存在,求出其最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由;
(3)過拋物線焦點(diǎn)F作互相垂直的兩直線分別交拋物線于A,C,B,D,求四邊形ABCD面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知雙曲線的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合,且該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,是橢圓上的的動(dòng)點(diǎn).
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)滿足:,直線與的斜率之積為,求證:存在定點(diǎn),
使得為定值,并求出的坐標(biāo);
(3)若在第一象限,且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,點(diǎn)在軸的射影為,連接 并延長(zhǎng)交橢圓于
點(diǎn),求證:以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,梯形ABCD的底邊AB在y軸上,原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),M為CD的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)過M作AB的垂線,垂足為N,若存在正常數(shù),使,且P點(diǎn)到A、B 的距離和為定值,求點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(3)過的直線與軌跡E交于P、Q兩點(diǎn),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,求k的值.
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