【題目】已知函數(shù)f(x)=3x2+2(k﹣1)x+k+5.
(1)求函數(shù)f(x)在[0,3]上最大值;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,3]上有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】
(1)解:由已知,函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為直線 .
當(dāng) ,即 時(shí),f(x)max=f(3)=7k+26.
當(dāng) ,即 時(shí),f(x)max=f(0)=k+5.
綜上: .
(2)解:1°當(dāng)函數(shù)f(x)在[0,3]上有兩相同的零點(diǎn)時(shí): ,
解得k=﹣2.
2°當(dāng)函數(shù)f(x)在[0,3]上有兩不同的零點(diǎn)時(shí): ,
解得 .
3°當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0,3]上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí):
由零點(diǎn)存在定理得:f(0)f(3)≤0,解得 .
而當(dāng)k=﹣5時(shí),f(x)=3x2﹣12x,此時(shí)該函數(shù)的零點(diǎn)為0和4,符合要求.
綜上:﹣5≤k≤﹣2.
解法2:函數(shù)f(x)在[0,3]上有零點(diǎn)等價(jià)于方程3x2+2(k﹣1)x+k+5=0在[0,3]上有解
即k(2x+1)=﹣(3x2﹣2x+5)
所以
令t=2x+1∈[1,7],則 在[1,3]單調(diào)遞增,在[3,7]單調(diào)遞減
所以k∈[﹣5,﹣2].
【解析】(1)由已知,函數(shù)f(x)的圖象是開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為直線 ,分類討論,即可求出函數(shù)f(x)在[0,3]上最大值;(2)分類討論函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上有兩相同的零點(diǎn)、兩不同的零點(diǎn)、函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在[0,3]上僅有一個(gè)零點(diǎn),根據(jù)函數(shù)性質(zhì)組成不等式組求解即可.或利用分離參數(shù)求最值的方法求解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,函數(shù)在上遞減,在上遞增;當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,函數(shù)在上遞增,在上遞減才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點(diǎn),求的值;
②當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上沒有零點(diǎn),求的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù),且(),求證:當(dāng)時(shí), .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=3x+x,g(x)=x3+x,h(x)=log3x+x的零點(diǎn)依次為a,b,c,則( )
A.c<b<a
B.a<b<c
C.c<a<b
D.b<a<c
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地農(nóng)業(yè)監(jiān)測(cè)部門統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn):該地區(qū)近幾年的生豬收購(gòu)價(jià)格每四個(gè)月會(huì)重復(fù)出現(xiàn),但生豬養(yǎng)殖成本逐月遞增.下表是今年前四個(gè)月的統(tǒng)計(jì)情況:
月份 | 1月份 | 2月份 | 3月份 | 4月份 |
收購(gòu)價(jià)格(元/斤) | 6 | 7 | 6 | 5 |
養(yǎng)殖成本(元/斤) | 3 | 4 | 4.6 | 5 |
現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型:
①y=Asin(ωx+φ)+B,(A>0,ω>0,﹣π<φ<π),
②y=log2(x+a)+b
中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,分別來(lái)擬合今年生豬收購(gòu)價(jià)格(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系、養(yǎng)殖成本(元/斤)與相應(yīng)月份之間的函數(shù)關(guān)系.
(1)請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,分別求出這兩個(gè)函數(shù)解析式;
(2)按照你選定的函數(shù)模型,幫助該部門分析一下,今年該地區(qū)生豬養(yǎng)殖戶在8月和9月有沒有可能虧損?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其中為常數(shù);
(1)若,且是奇函數(shù),求的值;
(2)若, ,函數(shù)的最小值是,求的最大值;
(3)若,在上存在個(gè)點(diǎn) ,滿足, ,
,使得,
求實(shí)數(shù)的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若函數(shù)fA(x)的定義域?yàn)锳=[a,b),且fA(x)=( + ﹣1)2﹣ +1,其中a,b為任意正實(shí)數(shù),且a<b.
(1)求函數(shù)fA(x)的最小值和最大值;
(2)若x1∈Ik=[k2 , (k+1)2),x2∈Ik+1=[(k+1)2 , (k+2)2),其中k是正整數(shù),對(duì)一切正整數(shù)k,不等式 (x1)+ (x2))<m都有解,求m的取值范圍;
(3)若對(duì)任意x1 , x2 , x3∈A,都有 , , 為三邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)F1 , F2為橢圓 的左右焦點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)P使得 ,則此橢圓的離心率的取值范圍是( )
A.(0, )
B.(0, ]
C.( , ]
D.[ ,1)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN,要求B點(diǎn)在AM上,D點(diǎn)在AN上,且對(duì)角線MN過點(diǎn)C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面積大于9平方米,則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)?
(2)當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí),矩形花壇AMPN的面積最?并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x3﹣3ax2+3bx的圖象與直線12x+y﹣1=0相切于點(diǎn)(1,﹣11).
(1)求a,b的值;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.
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