Question

【題目】設對于任意實數x，不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取最大值時，解關于x的不等式：|x﹣3|﹣2x≤2m﹣12．

Answer 1

【答案】
（1）解：設f（x）=|x+7|+|x﹣1|，則有f（x）= ，

當x≤﹣7時，f（x）有最小值8；當﹣7≤x≤1時，f（x）有最小值8；

當x≥1時，f（x）有最小值8．綜上f（x）有最小值8，所以，m≤8

（2）解：當m取最大值時m=8，原不等式等價于：|x﹣3|﹣2x≤4，

等價于： ，或 ，

等價于：x≥3或﹣ ≤x≤3，

所以原不等式的解集為{x|x≥﹣ }

【解析】（1）要使不等式|x+7|+|x﹣1|≥m恒成立，需f（x）=|x+7|+|x﹣1|的最小值大于或等于m，問題轉化為求f（x）的最小值．（2）當m取最大值8時，原不等式等價于：|x﹣3|﹣2x≤4，去掉絕對值符號，解此不等式．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號)．