【題目】如圖,三棱柱ABC﹣DEF中,側(cè)面ABED是邊長為2的菱形,且∠ABE= ,BC= ,四棱錐F﹣ABED的體積為2,點F在平面ABED內(nèi)的正投影為G,且G在AE上,點M是在線段CF上,且CM= CF.
(Ⅰ)證明:直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)求二面角M﹣AB﹣F的余弦值.

【答案】(Ⅰ)證明:∵四棱錐錐F﹣ABED的體積為2, 即VFABCD= ,∴FG=
又BC=EF= ,∴EG= ,即點G是靠近點A的四等分點.
過點G作GK∥AD交DE于點K,∴GK=
又MF= ,∴MF=GK且MF∥GK.
四邊形MFKG為平行四邊形,
∴GM∥FK,
∴直線GM∥平面DEF;
(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點為O,OB所在直線為x軸,OE所在直線為y軸,
過點O作平面ABED的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:
A(0,﹣1,0),B( ,0,0),F(xiàn)(0,﹣ , ),M( ).
,
設(shè)平面ABM,ABF的法向量分別為
,則 ,取y=﹣ ,得 ,
同理求得
∴cos< >=
∴二面角M﹣AB﹣F的余弦值為

【解析】(Ⅰ)由四棱錐錐F﹣ABED的體積為2求出FG,進一步求得EG,可得點G是靠近點A的四等分點.過點G作GK∥AD交DE于點K,可得GK= .又MF= ,得到MF=GK且MF∥GK.則四邊形MFKG為平行四邊形,從而得到GM∥FK,進一步得到直線GM∥平面DEF;(Ⅱ)設(shè)AE、BD的交點為O,OB所在直線為x軸,OE所在直線為y軸,點O作平面ABED的垂線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABM,ABF的法向量,由兩法向量所成角的余弦值得二面角M﹣AB﹣F的余弦值.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)為不同的兩點,直線的方程為,設(shè),其中均為實數(shù).下列四個說法中:

①存在實數(shù),使點在直線上;

②若,則過兩點的直線與直線重合;

③若,則直線經(jīng)過線段的中點;

④若,則點在直線的同側(cè),且直線與線段的延長線相交.

所有結(jié)論正確的說法的序號是______________

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【題目】交強險是車主必須為機動車購買的險種.若普通6座以下私家車投保交強險第一年的費用(基準(zhǔn)保費)統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時,實行的是費率浮動機制,保費與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系,發(fā)生交通事故的次數(shù)越多,費率也就越高,具體浮動情況如表:

交強險浮動因素和浮動費率比率表

浮動因素

浮動比率

A1

上一個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮10%

A2

上兩個年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮20%

A3

上三個及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故

下浮30%

A4

上一個年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故

0%

A5

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故

上浮10%

A6

上一個年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故

上浮30%

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況,隨機抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車的下一年續(xù)保時的情況,統(tǒng)計得到了下面的表格:

類型

A1

A2

A3

A4

A5

A6

數(shù)量

10

5

5

20

15

5

以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率,完成下列問題:
(Ⅰ)按照我國《機動車交通事故責(zé)任強制保險條例》汽車交強險價格的規(guī)定a=950.記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時的費用,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值;(數(shù)學(xué)期望值保留到個位數(shù)字)
(Ⅱ)某二手車銷售商專門銷售這一品牌的二手車,且將下一年的交強險保費高于基本保費的車輛記為事故車.假設(shè)購進一輛事故車虧損5000元,一輛非事故車盈利10000元:
①若該銷售商購進三輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求這三輛車中至多有一輛事故車的概率;
②若該銷售商一次購進100輛(車齡已滿三年)該品牌二手車,求他獲得利潤的期望值.

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A.此題沒有考生得12分
B.此題第1問比第2問更能區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)成績的好與壞
C.分?jǐn)?shù)在[40,50)的考生此大題的平均得分大約為4.8分
D.全體考生第1問的得分標(biāo)準(zhǔn)差小于第2問的得分標(biāo)準(zhǔn)差

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【題目】柴靜《穹頂之下》的播出,讓大家對霧霾天氣的危害有了更進一步的認(rèn)識,對于霧霾天氣的研究也漸漸活躍起來,某研究機構(gòu)對春節(jié)燃放煙花爆竹的天數(shù)x與霧霾天數(shù)y進行統(tǒng)計分析,得出下表數(shù)據(jù):

x

4

5

7

8

y

2

3

5

6

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程;

(3)試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測燃放煙花爆竹的天數(shù)為的霧霾天數(shù).

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