設(shè)f(x)=
ln(1+x)
x
(x>0)

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,試說明理由;
(Ⅲ)求證:(1+
1
n
)n<e,n∈N*
(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).
證明:(1)∵f(x)=
ln(1+x)
x
,(x>0)

f′(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2

設(shè)g(x)=
x
1+x
-ln(1+x),(x≥0)

g′(x)=
1+x-x
(1+x)2
-
1
1+x
=
1-(1+x)
(1+x)2
=
-x
(1+x)2
≤0

∴y=g(x)在[0,+∞)上為減函數(shù).
g(x)=
x
1+x
-ln(1+x)≤g(0)=0
,
f′(x)=
x
1+x
-ln(1+x)
x2
<0

∴函數(shù)f(x)=
ln(1+x)
x
在(0,+∞)上為減函數(shù).
(2)ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,?ln(1+x)-ax<0在(0,+∞)上恒成立,
設(shè)h(x)=ln(1+x)-ax,則h(0)=0,
h′(x)=
1
1+x
-a

若a≥1,則x∈[0,+∞)時(shí),h′(x)=
1
1+x
-a≤0
恒成立,
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,+∞)上為減函數(shù)
∴l(xiāng)n(1+x)-ax<h(0)=0在(0,+∞)上恒成立,
∴l(xiāng)n(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
若a≤0顯然不滿足條件,
若0<a<1,則h′(x)=
1
1+x
-a=0
時(shí),x=
1
a
-1

x∈[0,
1
a
  時(shí)h'(x)≥0,
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0,
1
a
  上為增函數(shù),
當(dāng)x∈[0,
1
a
  時(shí),h(x)=ln(1+x)-ax>0,
不能使ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,
∴a≥1
(3)由(2)可知
ln(1+x)
x
<1
在(0,+∞)上恒成立,
ln(1+x)
1
x
<1
,即(1+x)
1
x
<e
,
1
x
=n
,即可證得(1+
1
n
)n<e
對一切正整數(shù)n成立.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=
ln(1+x)
x
(x>0)

(Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)a,使得關(guān)于x的不等式ln(1+x)<ax在(0,+∞)上恒成立,若存在,求出a的取值范圍,若不存在,試說明理由;
(Ⅲ)求證:(1+
1
n
)n<e,n∈N*
(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ln(1+a-2x)(a>0),則f′(0)=_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ln(1+a-2x),則f′(0)=____________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=ln(1+a-2x),則f′(0)=___________.

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