如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形．

(1)求證：BC⊥AD；

(2)試問(wèn)該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)棱長(zhǎng)AD的大小；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

（1）見解析（2）最大值為8，此時(shí)棱長(zhǎng)AD＝2.

【解析】(1)證明：取BC的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，DE，

∵△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形，

∴AE⊥BC，DE⊥BC.

∵AE∩DE＝E，

∴BC⊥平面AED，AD?平面AED，∴BC⊥AD.

(2)由已知得，△AED為等腰三角形，且AE＝ED＝2，

設(shè)AD＝x，F為棱AD的中點(diǎn)，

則EF＝ ，S△AED＝，

V＝S△AED·(BE＋CE)＝ (0＜x＜4)，

當(dāng)x2＝24，即x＝2時(shí)，Vmax＝8，

∴該四面體存在最大值，最大值為8，此時(shí)棱長(zhǎng)AD＝2.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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在△ABC中，D為邊BC上任意一點(diǎn)，＝λ＋μ，則λμ的最大值為( )

A．1 B. C. D.

 

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已知方程＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是( )

A. B．(1，＋∞) C．(1,2) D.

 

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如圖，點(diǎn)C是以AB為直徑的圓上的一點(diǎn)，直角梯形BCDE所在平面與圓O所在平面垂直，且DE∥BC，DC⊥BC，DE＝BC.

(1)證明：EO∥平面ACD；

(2)證明：平面ACD⊥平面BCDE.

 

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已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的有(　　)

A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β

C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n

 

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如圖，水平放置的三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)均為2，且側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，正(主)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該三棱柱的側(cè)(左)視圖的面積為________．

 

 

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已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝ (n∈N*)．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an；

(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(3n－1)an，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若不等式(－1)nλ＜Tn對(duì)一切n∈N*恒成立，求λ的取值范圍．

 

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某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：

①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；

②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；

③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.

(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．

 

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在△ABC中，若0＜tan A·tan B＜1，那么 △ABC一定是( )

A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．形狀不確定

 

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