Question

20．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）的部分值如表所示：

x	-3	-2	0	1	3	4	8
f'（x）	-24	-10	6	8	0	-10	-90

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，回答下列問題：
（Ⅰ）實(shí)數(shù)c的值為6；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）取得極大值（將答案填寫在橫線上）．
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a，b的值．
（Ⅲ）若f（x）在（m，m+2）上單調(diào)遞減，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由極值的定義，通過表格可求解；
（Ⅱ）在表格中取兩組數(shù)據(jù)代入解析式即可；
（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）的單調(diào)減區(qū)間D，依據(jù)（m，m+2）⊆D即可．

解答 解：（Ⅰ）6，3．------------------------------------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：f'（x）=3ax²+2bx+c，--------------------------------------------------------------（5分）
由已知表格可得$\left\{{\begin{array}{l}{f'（1）=8}\\{f'（3）=0}\end{array}}\right.$ 解得 $\left\{{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}}\right.$---------------------------------------------（7分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得f'（x）=-2x²+4x+6=-2（x-3）（x+1），-----------------------（8分）
由f'（x）＜0可得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），------------------------------------------------（9分）
因?yàn)閒（x）在（m，m+2）上單調(diào)遞減，
所以僅需m+2≤-1或者m≥3，------------------------------------------------------（11分）
所以m的取值范為m≥3或m≤-3．-----------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的定義及利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題．