【題目】設(shè)橢圓,定義橢圓C相關(guān)圓E:.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的右焦點(diǎn)重合,且橢圓C的短軸長與焦距相等.

1)求橢圓C及其相關(guān)圓E的方程;

2)過相關(guān)圓E上任意一點(diǎn)P作其切線l,若l 與橢圓交于A,B兩點(diǎn),求證:為定值(為坐標(biāo)原點(diǎn));

3)在(2)的條件下,求面積的取值范圍.

【答案】1,;(2)證明見解析;(3.

【解析】

1)由題設(shè)知,又,從而可得,得橢圓方程,及相關(guān)圓方程;

2)對(duì)直線斜率進(jìn)行討論,斜率不存在時(shí),直接寫出直線方程,求出坐標(biāo),得

斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,消元后得關(guān)于的二次方程,有韋達(dá)定理得,由直線與圓相切得關(guān)系,計(jì)算也可得,定值.

3)由于是“相關(guān)圓”半徑,所以,結(jié)合韋達(dá)定理求得,并得到其范圍,從而得面積的范圍.

1)拋物線的焦點(diǎn)是,與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合,∴,又,所以,

橢圓方程為,“相關(guān)圓”的方程為

2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),不妨設(shè)其方程為,則,可得

當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,設(shè),由

,即,

由韋達(dá)定理得

因?yàn)橹本與圓相切,所以,整理得,

所以,所以,為定值.

3)由于,因此求面積的取值范圍只要求弦長的取值范圍.

當(dāng)直線斜率不存在時(shí),,

當(dāng)直線斜率存在時(shí),

,

時(shí),0,

時(shí),,

,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),

所以的取值范圍是,

面積的取值范圍是

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1)設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,用表示;

2)求證:為定值;

3)用、、、表示出,試研究是否有最小值,如果有,求出最小值,并寫出此時(shí)直線的方程;若沒有最小值,請(qǐng)說明理由.

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B. 以相同速度行駛相同路程,三輛車中,甲車消耗汽油最多

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D. 某城市機(jī)動(dòng)車最高限速80千米/小時(shí). 相同條件下,在該市用丙車比用乙車更省油

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(1)求數(shù)列的表達(dá)式;

(2)設(shè)(),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;

(3)在數(shù)列中是否存在這樣的一些項(xiàng),,,,…,…(),這些項(xiàng)能夠依次構(gòu)成以為首項(xiàng),q(,)為公比的等比數(shù)列?若存在,寫出關(guān)于k的表達(dá)式;若不存在,說明理由.

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