Question

如圖，F1、F2分別是橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是橢圓C的頂點，B是直線AF2與橢圓C的另一個交點，∠F1AF2＝60°.

(1)求橢圓C的離心率；

(2)已知△AF1B的面積為40，求a，b的值．

 

Answer 1

（1）e＝.（2）a＝10，b＝5

【解析】(1)由題意可知，△AF1F2為等邊三角形，a＝2c，所以e＝.

(2)方法一：a2＝4c2，b2＝3c2，直線AB的方程為y＝－ (x－c)，

將其代入橢圓方程3x2＋4y2＝12c2，得B，

所以|AB|＝..

由S△AF1B＝ |AF1|·|AB|·sin∠F1AB＝a·c·＝ a2＝40，

解得a＝10，b＝5.

方法二：設(shè)|AB|＝t.因為|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a，

由橢圓定義|BF1|＋|BF2|＝2a可知，|BF1|＝3a－t，

再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°可得，t＝a，

由S△AF1B＝aa＝a2＝40知，a＝10，b＝5.