已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)A(0)為圓心,1為半徑為圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線yx對稱.

(1)求雙曲線C的方程;

(2)Q是雙曲線C上的任一點(diǎn),F1、F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程.

(3)設(shè)直線ymx1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn),另一直線L經(jīng)過M(2,0)AB的中點(diǎn),求直線Ly軸上的截距b的取值范圍.S

答案:
解析:

  解:(1)設(shè)雙曲線C的漸近線方程為ykx,即kxy0

  ∵該直線與圓相切,

  ∴雙曲線C的兩條漸近線方程為  2

  故設(shè)雙曲線C的方程為,又∵雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)為

  ∴,∴雙曲線C的方程為  4

  (2)Q在雙曲線的右支上,則延長QF2T,使|QT||OF1|

Q在雙曲線的左支上,則在QF2上取一點(diǎn)T,使|QT||QF1|根據(jù)雙曲線的定義|TF2|2,所以點(diǎn)T在以F2為圓心,2為半徑的圓上,即點(diǎn)T的軌跡方程是①  6

  由于點(diǎn)N是線段F1T的中點(diǎn),設(shè)N(xy),T()

  則

  代入①并整理得點(diǎn)N的軌跡方程為   8

  (3)

  令

  直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn),等價(jià)于方程上有兩個(gè)不等實(shí)根.

  因此   10

  又AB中點(diǎn)為

  ∴直線L的方程為     12

  令x0,得

  ∵ ∴

  ∴故b的取值范圍是   14


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•濰坊一模)已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與雙曲
x2
4
-
y2
5
=1
的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且|AK|=
2
|AF|
,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•淮南二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1,(a>b>0)與雙曲4x2-
4
3
y2=1有相同的焦點(diǎn),且橢C的離心e=
1
2
,又A,B為橢圓的左右頂點(diǎn),M為橢圓上任一點(diǎn)(異于A,B).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直MA交直x=4于點(diǎn)P,過P作直線MB的垂線x軸于點(diǎn)Q,Q的坐標(biāo);
(3)求點(diǎn)P在直線MB上射R的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年龍巖一中沖刺文)(分)已知雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右準(zhǔn)線為一條漸近線的方程是過雙曲線C的右焦點(diǎn)F2的一條弦交雙曲線右支于P、Q兩點(diǎn),R是弦PQ的中點(diǎn).

   (1)求雙曲線C的方程;

   (2)若A、B分別是雙曲C上兩條漸近線上的動(dòng)點(diǎn),且2|AB|=|F1F2|,求線段AB的中點(diǎn)M的跡方程,并說明該軌跡是什么曲線。

   (3)若在雙曲線右準(zhǔn)線L的左側(cè)能作出直線m:x=a,使點(diǎn)R在直線m上的射影S滿足,當(dāng)點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動(dòng)時(shí),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)A (0,)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于y = x對稱.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若Q是雙曲線線C上的任一點(diǎn),F1,F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程;

    (3)設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于AB兩點(diǎn),另一直線l經(jīng)過M (–2,0)及AB的中點(diǎn),求直線ly軸上的截距b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年山東省濰坊市高三3月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題

已知拋物線的焦點(diǎn)F與雙曲的右焦點(diǎn)重合,拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A在拋物線上且,則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

A.            B.3                C.            D.4

 

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