【題目】已知.
(1)當時,若函數(shù)在處的切線與函數(shù)相切,求實數(shù)的值;
(2)當時,記.證明:當時,存在,使得.
【答案】(1) .
(2)見解析.
【解析】分析:第一問將代入解析式,之后對函數(shù)求導,從而可以求得,結合,利用點斜式寫出切線的方程,之后再結合直線與拋物線相切的有關特征求得參數(shù)b的值;第二問結合題中的條件,轉化函數(shù)解析式,利用導數(shù)研究函數(shù)的性質,向最值靠攏即可證得結果.
詳解:(Ⅰ)解:當時,,
,故切線方程為.
設切線與相切的切點為,
故滿足方程組
解得,故.
(Ⅱ)證明:,
令,則
在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
即恒成立,
或,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
.
只需證時,即可,
令
則,恒成立,
在上單調(diào)遞減.
,
在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某顏料公司生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,其中生產(chǎn)每噸A產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料4噸,丙染料2噸,生產(chǎn)每噸B產(chǎn)品,需要甲染料1噸,乙染料0噸,丙染料5噸,且該公司一天之內(nèi)甲、乙、丙三種染料的用量分別不超過50噸,160噸和200噸,如果A產(chǎn)品的利潤為300元/噸,B產(chǎn)品的利潤為200元/噸,設公司計劃一天內(nèi)安排生產(chǎn)A產(chǎn)品x噸,B產(chǎn)品y噸.
(I)用x,y列出滿足條件的數(shù)學關系式,并在下面的坐標系中畫出相應的平面區(qū)域;
(II)該公司每天需生產(chǎn)A,B產(chǎn)品各多少噸可獲得最大利潤,最大利潤是多少?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)記,是的導函數(shù),如果是函數(shù)的兩個零點,且滿足,證明:.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知l,m是平面外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:
①l⊥m;②m∥;③l⊥.
以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,則三個命題中正確命題的個數(shù)為( )個.
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若某校研究性學習小組共6人,計劃同時參觀科普展,該科普展共有甲,乙,丙三個展廳,6人各自隨機地確定參觀順序,在每個展廳參觀一小時后去其他展廳,所有展廳參觀結束后集合返回,設事件A為:在參觀的第一小時時間內(nèi),甲,乙,丙三個展廳恰好分別有該小組的2個人;事件B為:在參觀的第二個小時時間內(nèi),該小組在甲展廳人數(shù)恰好為2人,則( ).
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,由直三棱柱和四棱錐構成的幾何體中,,平面平面
(I)求證:;
(II)若M為中點,求證:平面;
(III)在線段BC上(含端點)是否存在點P,使直線DP與平面所成的角為?若存在,求得值,若不存在,說明理由.
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