Question

（本小題満分12分）
已知一條曲線上的每個(gè)點(diǎn)M到A（1,0）的距離減去它到y軸的距離差都是1．
（1）求曲線的方程;
（2）討論直線y=kx+1（k∈R）與曲線的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)

Answer 1

解：（1）設(shè)點(diǎn)M（x,y）是曲線上任意一點(diǎn),則-|x|=1，
化簡得:y²=2x+2|x|
所求曲線的方程．C₁：當(dāng)x³0時(shí)， y²=4x；C₂：當(dāng)x<0時(shí)，y=0．
（2）直線y=kx+1過定點(diǎn)（0,1），
y=kx+1，與y²=4x聯(lián)列：ky²-4y+4="0," D=16-16k
當(dāng)k=0時(shí),直線與C₁有一個(gè)公共點(diǎn),而與C₂沒有公共點(diǎn),共1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k=1時(shí), D=0，直線與C₁和C₂各一個(gè)公共點(diǎn),共2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)0<k<1時(shí)，D>0,直線與C₁有2個(gè)公共點(diǎn)，和C₂一個(gè)交點(diǎn),共3個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k<0時(shí)，D>0,直線與C₁有兩個(gè)公共點(diǎn)，和C₂沒有公共點(diǎn),共2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k>1時(shí), D<0,直線與C₁沒有公共點(diǎn)，和C₂有1個(gè)公共點(diǎn),共1個(gè)公共點(diǎn);
所以:當(dāng)k=0,或k>1時(shí),直線與曲線有1個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)k=1,或k<0時(shí),直線與曲線有2個(gè)公共點(diǎn);
當(dāng)0<k<1時(shí),直線與曲線有3個(gè)公共點(diǎn)．

略